Question

??ALGUEM ME AJUDA PF??
Resolver a equação diferencial linear:

Answer 1

Conteúdo:

• Equação diferencial linear

Considerando 4y/x, então temos:

$\huge { \sf \cfrac{dy}{dx} - \cfrac{4y}{x} = x^5e^x }$

$\huge {\text { \sf e^{-\int\limits -\frac{4}{x} \:dx } \left[ \displaystyle \int\limits x^5 \cdot e^x \cdot e^{\int \limits -\frac{4}{x} dx } \: dx + C\right] }}$

$\huge { \sf e^{4 \: ln(x) } \left[ \displaystyle \int\limits x^5 \cdot e^x \cdot e^{- 4\: ln (x) } \: dx + C\right] }$

$\huge { \sf x^4 \left[ \displaystyle \int\limits x^5 \cdot e^x \cdot x^{-4} \: dx + C\right] }$

$\huge { \sf x^4 \left[ \displaystyle \int\limits x \cdot e^x \: dx + C\right] }$

Agora utilizaremos integração por partes:

$\huge {\sf u=x }$

$\huge {\sf du = dx }$

$\huge {\sf \displaystyle \int\limits dv = \int\limits e^x \: dx }$

$\huge {\sf v= e^x+C }$

$\huge {\boxed { \sf u\centerdot v - \int\limits v \centerdot du }}$

$\huge {\sf x \centerdot e^x - \displaystyle \int\limits e^x \: dx }$

$\huge {\sf x \centerdot e^x -e^x +C }$

$\huge {\boxed {\sf x^4 \:[x^1e^x- e^x+ C] }}$

                    $\huge {\sf \updownarrow }$

$\huge {\boxed {\blue {\sf x^5e^x-x^4e^x+ x^4C}}}$

_____________________________________________

• Creio que seja isso!

• Caso haja erros comunique!

OBS: Eu utilizei $\large { \sf \frac{4}{x}y }$ como $\large { \sf \frac{4y}{x} }$.

Answer 2

Olá, boa tarde.

Devemos encontrar as soluções da seguinte equação diferencial:

$\dfrac{dy}{dx}-\dfrac{4}{x}\cdot y=x^5\cdot e^x$

Esta é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem, também conhecida como Equação de Bernoulli, que assume a forma: $y'+P(x)\cdot y=Q(x)\cdot y^n$, com $n=0$.

Suas soluções podem ser calculadas utilizando o método do fator integrante: define-se uma função $\mu(x)$ tal que: $y\cdot \mu(x)=\displaystyle{\int Q(x)\cdot\mu(x)\,dx}$.

Esta função pode ser calculada pela fórmula: $\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$.

Substituindo $P(x)=-\dfrac{4}{x}$, temos:

$\mu(x)=e^{\int -\frac{4}{x}\,dx}$

Calculamos a integral no expoente: $\displaystyle{\int-\dfrac{4}{x}\,dx}$

Aplicamos a linearidade: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}$

$-4\cdot\displaystyle{\int\dfrac{1}{x}\,dx}$

Esta é uma integral imediata: $\displaystyle{\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,~C\in\mathbb{R}$

$-4\cdot\ln(x)$

Substituindo o resultado da integral no expoente, calculamos o fator integrante

$\mu(x)=e^{-4\cdot\ln(x)}$

Aplique a propriedade de logaritmos: $a\cdot\ln(x)=\ln(x^a),~x>0$ e $e^{\ln(x)}=x$, temos:

$\mu(x)=e^{\ln(x^{-4})}\\\\\\\ \boxed{\mu(x)=x^{-4}}$

Multiplicamos ambos os lados da equação diferencial pelo fator integrante:

$x^{-4}\cdot\left(\dfrac{dy}{dx}-\dfrac{4}{x}\cdot y\right)=x^{-4}\cdot x^5\cdot e^x\\\\\\ x^{-4}\cdot\dfrac{dy}{dx}-\dfrac{4}{x^5}\cdot y=x\cdot e^x$

Podemos reescrever a expressão à esquerda da igualdade utilizando a regra do produto: $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$.

$\left(x^{-4}\cdot y)'=x\cdot e^x$

Integramos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$

$\displaystyle{\int (x^{-4}\cdot y)'\,dx=\int x\cdot e^x\,dx}$

Para calcular estas integrais, lembre-se que:

• A integral da derivada de uma função pode ser calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int \dfrac{dF(x)}{dx}\,dx=F(x)+C,~C\in\mathbb{R}}$.
• A integral de um produto de funções pode ser calculado pela técnica de integração por partes (ou tabela), que será discutida abaixo.
• A derivada de uma potência pode ser calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A integral da função exponencial é igual a própria função exponencial: $\displaystyle{\int e^x\,dx=e^x+C,~C\in\mathbb{R}}$.

Aplique o Teorema Fundamental do Cálculo à esquerda da igualdade

$x^{-4}\cdot y=\displaystyle{\int x\cdot e^x\,dx}$

A técnica de integração por tabela serve para facilitar os cálculos da integração por partes: dada a integral $\displaystyle{\int f(x)\cdot g(x)\,dx}$, escolhe-se $u=f(x)$ e $dv=g(x)\,dx$ e substituímos estes resultados nas colunas da tabela (chamada D. I.), onde diferenciamos $u$ até que seja $0$ ou volte a se repetir e integramos $dv$.

A escolha de $u$ segue o critério LIATE: as funções Logarítmicas, Inversas Trigonométricas, Algébricas (potências de $x$), Trigonométricas e Exponenciais, nesta ordem de prioridade.

Assim, escolhemos $u=x$ e $dv=e^x\,dx$. Fazemos a tabela como na imagem em anexo.

Então, multiplicamos os valores de acordo com as setas e temos o resultado da integral: $\displaystyle{\int x\cdot e^x\,dx}=x\cdot e^x-e^x+C}$.

Logo, a equação se torna:

$x^{-4}\cdot y=x\cdot e^x-e^x+C$

Multiplique ambos os lados da igualdade por um fator $x^4$

$y=x^5e^x-x^4e^x+Cx^4,~C\in\mathbb{R}$

Estas são as soluções desta equação diferencial.