Question

⚠️Alguem me ajuda pf??
Resolver a Equação Diferencial Exata (não roube pontos) pq se não denuncio

obs: preciso dos cálculos

Answer 1

Uma EDO é exata quando pode ser escrita como $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$. Em que M e N são funções parciais contínuas. Para resolver uma EDO exata, primeiro devemos fazer a verificação se a derivada parcial mista é igual:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{ \partial M }{ \partial y } = \frac{ \partial N}{ \partial x}$

Analisando a derivada parcial, temos que:

$M =2xy {}^{2} - 3 \: \: e \: \: N = 2x {}^{2} y + 4 \\ \\ \frac{ \partial M}{ \partial y} = \frac{ \partial}{ \partial y} (2xy {}^{2} - 3) \: \to \: \: \frac{ \partial M}{ \partial y} = 4xy \\ \\ \frac{ \partial N}{ \partial x} = \frac{ \partial}{ \partial x}(2x {}^{2} y + 4) \: \to \: \frac{ \partial M}{ \partial y} = 4xy$

Portanto, podemos dizer que a EDO é de fato exata. Dado que a equação é exata, então existe uma função tal que:

$\frac{ \partial F }{ \partial x} = M(x,y) \: \: \to \: \: \frac{ \partial F }{ \partial x} = 2xy {}^{2} - 3$

Integrando essa função em relação a variável x:

$F = \int 2xy {}^{2} - 3 \: dx \: \: \: \: \\ F = x {}^{2} y {}^{2} - 3x + g(y)$

Onde g(y) é uma função que depende apenas de "y", ou seja, nesse caso é basicamente uma constante. Agora vamos derivar essa função em relação a "y":

$\frac{ \partial F }{ \partial y} = \frac{ \partial}{ \partial y} (x {}^{2} y {}^{2} - 3x + g(y)) \\ \\ \frac{ \partial F }{ \partial y} = 2x {}^{2} y + \frac{ \partial g(y)}{ \partial y}$

Agora vamos supor que:

$\frac{ \partial F }{ \partial y} =N(x,y) \: \to \:\frac{ \partial F }{ \partial y} = 2x {}^{2}y + 4$

Observe que podemos igualar essa equação suposta com a que obtemos:

$\cancel{2x {}^{2} y} + \frac{ \partial g(y)}{ \partial y} = \cancel{ 2x {}^{2} y} + 4 \: \to \: \frac{ \partial g(y)}{ \partial y} = 4$

Agora vamos integrar essa função em relação a "y", para que assim possamos encontrar a função que representa g(y):

$g(y) = \int 4 \: dy \: \: \to \: \: g(y) = 4y + k$

Tendo encontrado a função g(y), vamos substituir a mesma lá na relação que encontramos no começo:

$F = x {}^{2} y {}^{2} - 3x + g(y) \\ F = x {}^{2} y {}^{2} - 3x + 4y + k$

Mas como sabemos, a solução dessa equação é:

$F = c$

Então:

$\boxed{x {}^{2} y {}^{2} - 3x + 4y = c}$

Espero ter ajudado