Question

alguém me ajuda
opções
5
9
4
12
2

Answer 1

O primeiro circulo tem raio 1 e portanto sua área será

$A_1=1^2\cdot\pi\\A_1=\pi$

O segundo circulo tem raio igual a metade do circulo anterior e portanto o raio será $\dfrac{1}{2}$ e sua área será

$A_2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\cdot\pi\\\\A_2=\dfrac{1}{4}\pi$

Seguindo a lógica o terceiro circulo terá raio igual a metade do circulo anterior e portanto será $\dfrac{\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$ e sua área

$A_3=\left(\dfrac{1}{4}\right)^2\pi \\\\A_3=\dfrac{1}{16}\pi$

Temos então que a soma das áreas será

$S=\pi+\dfrac{1}{4}\pi+\dfrac{1}{16}\pi+\cdots$  colocando $\pi$ em evidencia

$S=\pi\left(1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}+\cdots\right)$ Note que no parenteses temos uma PG de razão $\dfrac{1}{4}$ portanto decrescente, podemos usar então a fórmula da soma dos infinitos termos de uma PG, que é $S_{PG_{\infty}}=\dfrac{a_1}{1-q}$ onde $a_1=1$ e $q=\dfrac{1}{4}$, ficamos então com

$S_{PG_{\inft}}=\dfrac{1}{1-\frac{1}{4}}\\\\S_{PG_{\inft}}=\dfrac{1}{\dfrac{4-1}{2}}\\\\S_{PG_{\inft}}=\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}\\\\S_{PG_{\infty}}=\dfrac{2}{3}$

Ou seja, tudo o que temos dentro dos parenteses podemos substituir por $\dfrac{2}{3}$ , daí

$S=\pi\cdot\dfrac{2}{3}$ arredondando $\pi$ para $\pi=3,14$

$S=3,14\cdot\dfrac{2}{3}\\\\S=2,09$

Portanto, o numero natural mais próximo de 2,09 é o 2

OBS: Vi que no enunciado pedia o limite da soma das áreas, então bastava resolver o seguinte limite

$S=\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^n\pi\left(\dfrac{1}{4}\right)^k$, porém o raciocinio seria analogo, pois

$\displaystyle\sum_{k=0}^n\pi\left(\dfrac{1}{4}\right)^k=\pi\displaystyle\sum_{k=0}^n\left(\dfrac{1}{4}\right)^k=\overbrace{\pi\left[\left(\dfrac{1}{4}\right)^0+\left(\dfrac{1}{4}\right)^1+\left(\dfrac{1}{4}\right)^2+\cdots\right]}^{\mbox{ainda uma pg de razao}\quad\dfrac{1}{4}}=\pi\left(\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{4}}\right)=\dfrac{2}{3}\pi$

Substituindo isso no limite

$S=\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{2}{3}\pi$ como não temos nada dependendo de "n" o limite é simplesmente $\dfrac{2}{3}\pi$

$S=\dfrac{2}{3}\pi=2,09$