Question

Alguem me ajuda oor favor

prove que as retas tangentes são perpendiculares as curvas C1:4y^3-x^2y-x+5y=0 e C2=x^4-4y^3+5x+y=0 são perpendiculares no ponto (0,0)

Answer 1

Resposta:

Vide explicação

Explicação passo-a-passo:

Sabemos que a reta tangente de uma curva de nível C de f em (x0, y0) é:

$\nabla f(x_0, y_0)\cdot [(x,y)-(x_0, y_0)] =0$

E se temos duas funções, f e g, suas retas tangentes são perpendiculares se:

$\nabla f(x_0, y_0) \cdot \nabla g(x_0, y_0) = 0$

Lembrando que:

$\nabla f(x,y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$

Ou seja, se provarmos que o vetor normal é perpendicular, provamos que a tangente também é perpendicular, então vamos calcular os gradientes:

$f(x,y) = 4y^3-x^2y-x+5y=0\\\\\nabla f(x,y) = (4y^4-2xy+5y-1,\, 12y^3-x^2-x+5)\\\\\\g(x,y) = x^4-4y^3+5x+y\\\\\nabla g(x,y) = (4x^3-4y^3+y+5,\, x^4-12x^3+5x+1)$

Como estamos no $\mathbb{R}^2$ o produto escalar é bem simples:

$(x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = x_1 x_2 + y_1y_2$

Fazendo isso acima temos:

$\nabla f(0,0) = (-1,5)\\\\\nabla g(0,0) = (5, 1)\\\\\\\nabla f(0,0) \cdot \nabla g(0,0) = (-1)\cdot 5+5\cdot 1\\\\\nabla f(0,0) \cdot \nabla g(0,0) = 5 - 5 \\\\\nabla f(0,0) \cdot \nabla g(0,0) = 0 \\\\\\\therefore \nabla f(0,0) \perp \nabla g(0,0)$

Como o vetor gradiente é perperdicular, e temos que:

$\nabla f(x_0,y_0) \perp t$

Sendo t a reta tangente no ponto (x0, y0) da função f, isso implica:

$\nabla f(x_0,y_0) \perp t_f \text{ e } \nabla g(x_0,y_0) \perp t_g$

$\therefore t_f \perp t_g$

Qualquer dúvida respondo nos comentários

Edit

Achando as retas tangentes:

$\nabla f(x_0, y_0)\cdot [(x,y)-(x_0, y_0)] = 0\\\\\nabla f(0, 0)\cdot [(x,y)-(0, 0)] =0\\\\\nabla f(0, 0)\cdot (x,y) =0\\\\(-1,5) \cdot (x,y) = 0\\\\t_f:-x+5y = 0\\\\\\\nabla g(x_0, y_0)\cdot [(x,y)-(x_0, y_0)] = 0\\\\\nabla g(0, 0)\cdot [(x,y)-(0, 0)] =0\\\\\nabla g(0, 0)\cdot (x,y) =0\\\\(5,1) \cdot (x,y) = 0\\\\t_g:5x+y = 0$

Demonstrando que são perpendiculares:

$t_f \perp t_g \Rightarrow m_f m_g = -1$

Não vou demonstrar usando os vetores normais a reta pois daria no mesmo do que eu fiz acima, portanto vou usar a inclinação da reta, como se faz no ensino médio:

$t_f :y = \frac{x}{5} \\\\t_g :y = -5x \\\\\\m_f = \frac{1}{5}\\\\m_g = -5$

$t_f \perp t_g \Rightarrow m_f m_g = -1\\\\m_f m_g = \frac{1}{5}\cdot (-5) \\\\m_f m_g = -1\\\\\therefore t_f \perp t_g$

Obs: segue em anexo o gráfico das funções e suas retas tangentes