Question

Alguém me ajuda no valor dessa expressão?

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Colocando 5^2 em evidência, temos

5^2(3^100 + 3^98 + ... + 3^4 + 3^2)

Os termos entre parênteses são de uma P.G decrescente, cuja razão q = 3^98/3^100 = 3^(98-100) = 3^-2 = 1/3^2

Por outro lado

a1 = 3^100

an = 3^2

q = 3^-2 = 1/3^2

n = ?

Pelo termo geral da P.G, temos

an = a1.q^(n-1)

3^2 = 3^100.(3^-2)^(n-1)

3^2/3^100 = 3^(-2n+2)

3^-98 = 3^(-2n+2) =>

-2n + 2 = -98 =>

-2n = -98 - 2 =>

-2n = -100 =>

n = -100/-2 =>

n = 50

Pelo termo da soma da P.G, temos

Sn = a1(q^n - 1)/(q - 1) =>

S50 = 3^100((3^-2)^50 - 1)/((3^-2) - 1) =>

S50 = 3^100(3^(-100) - 1)/(1/3^2 - 1) =>

S50 = 3^100(1/3^100 - 1)/(1/9 - 1) =>

S50 = 3^100((1 - 3^100)/3^100)/((1 -9)/9) =>

S50 = 3^100((1 - 3^100)/3^100)/(-8/3^2) =>

S50 = 3^100((1 - 3^100)/3^100).(3^2/-8) =>

S50 = (1 -3^100).(3^2/-8) =>

S50 = (3^2 - 3^102)/-8 =>

S50 = -(3^102 - 3^2)/-8 =>

S50 = (3^102 - 3^2)/8

Assim

5^2(3^100 + 3^98 + ... + 3^4 + 3^2) =

5^2(3^102 - 3^2)/8

Alternativa c)