Question

Alguém me ajuda nessa questão sobre limites?

3) lim x-> 0
$lim \sqrt{9 + x} - 3 \div x$

4) lim h->0
$lim \: (x + h)^{3} - x^{3} \div h$
​

Answer 1

3) Lim √(9-x) -3/x

x-->0

se substituirmos dara Lim do tipo 0/0. portanto usaremos regra de L'hospital nesse e no outro exercício

lim ([√(9-x) -3/x])

x-->0

pela regra do quociente

dy/dx= -3(√9-x)' -(√9-x).(-3)'/(-3)²

derivando isoladamente √9-x

(√9-x)'=((9-x)^1/2)'

pela regra da cadeia

1/2.(9-x)^-1/2 .-1

-1/2(9-x)^-1/2

dy/dx=-3/2(9-x)^-1/2 +0/9

dy/dx=-1/6(9-x)^-1/2

agora voltando ao limite

lim -1/6(9-x)^-1/2=[-1/18]==> resposta

x-->0

4)Lim (x+h)³-x³/h

h-->0

aqui o mesmo raciocínio pois da 0/0 na substituição

dh/dx=(x+h)³(-x³)' -(-x³((x+h)³)')/(-x³)²

dh/dx=-3x²(x+h)³ +x³(3(x+h)²(1)/x^6

dh/dx=-3x²(x+h)³+3x³(x+h)²/x^6

substituindo zero nesta expressão lá no limite ficaremos com

lim dh/dx=-3x^5+3x^5/x^6=[0].

h-->0