Question

alguém me ajuda nessa questão (7)

Answer 1

Resposta:

$-5\leq x\leq-\frac{1}{3}$

Explicação passo-a-passo:

$\left | \frac{x-2}{2x+3} \right |\geq1$

$\frac{|x-2|}{|2x+3|}\geq1$

Sabendo que $|2x+3|$ definitivamente é positivo, podemos multiplicar ambos os lados da inequação por ele sem alterar a relação, ficando com:

$|x-2|\geq |2x+3|$

Como ambos os lados da desigualdade não são negativos, podemos elevá-los ao quadrado sem alterar a relação, ficando com:

$(|x-2|)^2\geq (|2x+3|)^2$

$(x-2)^2\geq (2x+3)^2$

$x^2-4x+4\geq 4x^2+12x+9$

$3x^2+16x+5\leq0$

Ficamos então com uma inequação do 2º grau, logo devemos realizar o estudo do sinal. Calculando as raízes do polinômio através da fórmula de Bhaskara, achamos que:

$x=\frac{-16\pm\sqrt{16^2-4\cdot3\cdot5}}{2\cdot3}$

$x=\frac{-16\pm\sqrt{256-60}}{6}$

$x=\frac{-16\pm\sqrt{196}}{6}$

$x=\frac{-16\pm14}{6}$

Daí tiramos que as raízes são -5 e -1/3. Como o polinômio representa graficamente uma parábola de concavidade voltada para cima, o intervalo entre as raízes representa os valores para os quais o polinômio é negativo. Como é isso que desejamos, concluímos que a solução da inequação é $-5\leq x\leq-\frac{1}{3}$.