Question

alguem me ajuda nessa matriz inversa?

Talvez o enunciado seja a imagem da direita.

não aguento mais meu professor com esse assunto!

Answer 1

Questão: Com base no estudo de Matrizes, calcule a matriz inversa de:

$\large A = \left[\begin{array}{cc}1&5\\3&2\end{array}\right]$

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Com base na definição, concluímos que a matriz inversa é:

-2/13       5/13

 3/13       -1/13

Para calcular a Matriz Inversa de uma Matriz A, precisamos:

   → Que essa Matriz A seja quadrada (2x2 ou 3x3 ou 4x4 ...)

   → Que o determinante desta Matriz A seja diferente de zero.

A partir daí,

→ A Matriz Inversa de A, será aquela que multiplicada pela Matriz A, resulte em uma Matriz identidade.

     Matriz Identidade é do Tipo:    

       $\large \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

DICA: Para se obter a inversa de uma matriz com determinante ≠ 0, podemos seguir 2 passos:

⇒ 1º Dividir todos os termos pelo determinante

⇒ 2º Trocar os termos da diagonal principal de lugar

⇒ 3º Inverter o sinal dos termos sa diagonal secundária

Vamos então calcular o determinante da Matriz A

$\large A = \left[\begin{array}{cc}1&5\\3&2\end{array}\right]$  

$\large Det ~A = (1~. ~2) - (5~. ~3)$

$\large Det ~A = 2 - 15$

$\large Det ~A = -13$  OK tem inversa

Com base na "dica"

1º Divide pelo Determinante:

$\large A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}-\dfrac{1}{13} &-\dfrac{5}{13}\\\\-\dfrac{3}{13}&-\dfrac{2}{13}\end{array}\right]$

2º Troca os termos da diagonal principal:

$\large A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}-\dfrac{2}{13} &-\dfrac{5}{13}\\\\-\dfrac{3}{13}&-\dfrac{1}{13}\end{array}\right]$

3º Inverte o sinal dos termos da diagonal secundária:

$\large A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}-\dfrac{2}{13} &\dfrac{5}{13}\\\\\dfrac{3}{13}&-\dfrac{1}{13}\end{array}\right]$

Pronto essa é a inversa.

Vamos conferir?

$\large A~. ~A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}1&5\\3&2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}-\dfrac{2}{13} &\dfrac{5}{13}\\\\\dfrac{3}{13}&-\dfrac{1}{13}\end{array}\right]$

$\large A~. ~A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 1.(-\frac{2}{13})+5.(\frac{3}{13} ) & 1.(\frac{5}{13})+5.(-\frac{1}{13} )\\ \\ 3.(-\frac{2}{13})+2.(\frac{3}{13} ) & 3.(\frac{5}{13})+2.(-\frac{1}{13} ) \end{array}\right]$

$\large A~. ~A^{-1} =\left[\begin{array}{cc}-\dfrac{2}{13}+\dfrac{15}{13} &\dfrac{5}{13} - \dfrac{5}{13}\\\\\ -\dfrac{6}{13}+\dfrac{6}{13} & \dfrac{15}{13} - \dfrac{2}{13} \end{array}\right]$

$\large A~. ~A^{-1} =\left[\begin{array}{cc}\dfrac{13}{13} & 0\\\\\ 0 & \dfrac{13}{13} \end{array}\right]$

$\large A~. ~A^{-1} =\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\\ 0 & 1 \end{array}\right] \Rightarrow Matriz~ Identidade.$

Perfeito.

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