Question

Alguem me ajuda nessa derivada!

Anexo também a resposta

Obrigada

Answer 1

$f(x)=\frac{x}{\left(x-\sqrt{4-x^2}\right)}$

Temos aqui uma derivada da regra do quociente, primeiro

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

$f'(x)=\frac{g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x)}{h(x)^2}$

no caso

$g(x)=x~~e~~g'(x)=1$

$h(x)=x-\sqrt{4-x^2}$

Parei aqui porque para encontrar o h'(x) temos que usar a regra da cadeia

$f[g(x)]=\sqrt{g(x)}$

Nessa caso

$f(u)=\sqrt{u}$

$g(x)=4-x^2$

Para derivar esta função

$f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)$

$f'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}$

$g'(x)=-2x$

Também u = g(x)

$f'[g(x)]=\frac{1}{2*\sqrt{4-x^2}}*(-2x)\Rightarrow~f'[g(x)]=-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$

$h(x)=x-f[g(x)]$

$h'(x)=1-f'[g(x)]$

$h'(x)=1+\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$

Agora podemos dar continuidade

$h(x)=x-\sqrt{4-x^2}~~e~~h'(x)=1+\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$

Lembrando que nossa regra do quociente é

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

$f'(x)=\frac{g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x)}{h(x)^2}$

Substituindo

$\boxed{\boxed{f'(x)=\frac{1*\left(x-\sqrt{4-x^2}\right)-x*\left(1+\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\right)}{\left(x-\sqrt{4-x^2}\right)^2}}}$

$f'(x)=\frac{\frac{x\sqrt{4-x^2}-4+x^2-x\sqrt{4-x^2}-x^2}{\sqrt{4-x^2}}}{\left(x-\sqrt{4-x^2}\right)^2}$

SIMPLIFICANDO MUITO Chegamos aqui hehe

$\boxed{\boxed{f'(x)=-\frac{4}{\sqrt{4-x^2}*\left(x-\sqrt{4-x^2}\right)^2}}}$

Agora tenta fazer a outra, seguindo a resolução aqui, que você vai conseguir, tranquilamente.