Question

alguém me ajuda com esse exercício!!

1_ Determine a equação da reta que satisfaça as condições dadas:

h) Passa pela interseção das retas 4x + 2y - 13 = 0 e 3x - 7y + 3 = 0 e e é perpendicular à reta x = 3y.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Geometria analítica

Para achar a intersecção entre duas rectas basta achar Par ordenado das duas equação.

Dada as rectas :

4x + 2y - 13 = 0 e 3x - 7y + 3 = 0

ACHAR uma recta em que passa pela intersecção das rectas acima e é perpendicular a recta: x = 3y

Primeiro vamos achar a intersecção das rectas acima :

$\begin{cases} \mathtt{ 4x + 2y~=~13 (I) } \\ \\ \mathtt{ 3x - 7y~=~-3 (II) } \end{cases}$

Vamos multiplicar a equação (I) por 3 e a equação (II) por -4 :

$\begin{cases} \mathtt{\cancel{ 12x} + 6y~=~39 } \\ \\ \mathtt{ \cancel{-12x} + 28y~=~12 } \end{cases}$ Somando as equações :

$\mathtt{ ~~~ 34y~=~51 \to~\red{ y~=~\dfrac{51}{34}} }$

Agora vamos substituir numa das equações e achar o x :

$\iff \mathtt{ 4x~=~ 13 - 2y }$

$\iff \mathtt{ 4x~=~ 12 - 2*\dfrac{51}{34} }$

$\iff \mathtt{ 4x~=~12 - \dfrac{51}{17}~=~\dfrac{153}{17} }$

$\iff \mathtt{ x~=~\dfrac{151}{17} * \dfrac{1}{4} }$

$\iff \red{\mathtt{ x~=~\dfrac{151}{68} } }$

Por tanto as rectas se intersectam no ponto: $\blue{ \mathtt{ \left( \dfrac{151}{68}~;~\dfrac{51}{34} \right) } }$

Então temos que a recta procurada é perpendicular a: $\mathtt{ \green{ x~=~3y~\to~y~=~\dfrac{1}{3}x } }$

Então se tal recta é perpendicular a uma outra recta significa que o seu declive é o simétrico do inverso dessa recta.

Então perceba que o declive de $\mathtt{ y~=~\dfrac{1}{3}x}$ é :

$\red{ \mathtt{ \dfrac{1}{3} } }$ Por tanto o simétrico do seu inverso é -3.

logo o declive da recta procurada é -3 :

Equação genérica: y = mx + n, onde m = -3

$\mathtt{\dfrac{151}{68}~=~-3*\dfrac{51}{34} + n }$

$\iff \mathtt{ n~=~\dfrac{151}{68}+\dfrac{153}{34} }$

$\iff \mathtt{ \green{n~=~\dfrac{151}{68} + \dfrac{306}{68}~=~\dfrac{457}{68}} }$

Montando a equação :

$\pink{ \iff \boxed{\boxed{\mathtt{ y~=~-3x + \dfrac{457}{68} } } } }$ $\checkmark$

Espero ter ajudado bastante!)