Question

Alguém me ajuda com essa questão de derivadas?
Quero o cálculo!

Answer 1

Tomaremos como medidas do retângulo:

$a = \text{base} \\ b= \text{altura}$

Logo temos o perímetro:

$P = 2(a+b) \\ \\ 1400 = 2(a+b) \\ \\ 700 = a + b$

E como área do retângulo, temos:

$A = ab$

Queremos uma função da área em função de uma das dimensões, assim isolamos uma das dimensões na equação do perímetro e substituímos na equação da área, eu escolherei em função de a:

$A(a) = a (700-a) \\ \\ A(a) = -a^2 + 700a$

Para calcular a derivada, pois utilizaremos a seguir, tomaremos como forma geral a derivada de $y= x^n$, ou seja,  derivada de uma função y de base x elevada na enésima potência:

$y = x^n \\ \\ y' = n\cdot x^{n-1}$

Assim a derivada de $A'(x)$:

$A(x) = -a^2 + 700a \\ \\ A'(x) =-2a^{2-1} + 700a^{1-1} \\ \\ A'(x) = -2a^1 + 700a^0 \\ \\ A'(x) = -2a + 700$

Agora temos que analisar essa função, utilizando a derivada da função, acharemos seu ponto crítico, ou seja, onde a derivada é nula:

$A'(a) = -2a + 700 \\ \\ 0 = -2a + 700 \\ \\ 2a = 700 \\ \\ a = 350$

Agora precisamos analisar se ponto é máximo ou mínimo, queremos que seja máximo, pois queremos a maior área possível. Analisaremos como valores se comportam próximos a esse ponto na função:

• Para valores $\ \textless \ a$, temos $A'(x) \ \textgreater \ 0$.

• Para valores $\ \textgreater \ a$, temos $A'(x) \ \textless \ 0$.

Logo temos que esse ponto vai de $\ \textgreater \ 0$ para $\ \textless \ 0$, ou seja, do positivo para o negativo. Assim temos que esse ponto é um máximo, sendo o que queríamos.

Assim encontrando a outra dimensão:

 $b = 700 - a \\ \\ b = 700 - 350 \\ \\ b = 350$

Logo as dimensões são:

$a = 350~m \\ \\ b = 350~m$

Sendo a área:

$A = 350^2 = 122500~m^2$