Question

ALGUÉM ME AJUDA??!!

Calcule a distância entre os seguintes pontos:

a) A(3,1) e B(-2,1)

b) A(2,3) e B(5,7)

c) A(-1,0) e B(5,8)

d) A(-1,-2) e B(-6,10)


2) Se a distância entre (x,-3) e (6,0) é igual a 5, então x pode ser:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

Answer 1

Resposta:

a)  5           b) 5           c) 10           d) 13                2 ) b ) x = 2

Explicação passo a passo:

A distância entre  dois pontos genéricos

$A(x_{1} ;y_{1})$    

e  

$B(x_{2} ;y_{2})$

é dada pela seguinte fórmula :

$d_{AB} =\sqrt{(x_{2} -x_{1} )^2+(y_{2} -y_{1})^2 }$

a)    A ( 3 ; 1 )      B ( - 2 ; 1  )

$d_{AB} =\sqrt{(-2-3 )^2+(1-1)^2 }=\sqrt{(-5)^2+0} =\sqrt{25} =5$

b)   A ( 2 ; 3 )          B ( 5 ; 7 )

$d_{AB} =\sqrt{(5-2)^2+(7-3)^2 }=\sqrt{3^2+4^2} =\sqrt{9+16} =\sqrt{25} =5$

c)    A ( -1 ; 0 )      B ( 5 ; 8 )

$d_{AB} =\sqrt{(5-(-1))^2+(8-0)^2 }=\sqrt{(5+1)^2+64}=\sqrt{36+64} =\sqrt{100} =10$

Observação → Sinal menos ( - ) antes de parêntesis

Quando antes de parêntesis existe um sinal menos, os valores lá dentro,

quando saem trocam seu sinal.

Exemplo daqui:

( - ( - 1 ) ) = + 1

d)     A ( - 1 ; - 2 )     B ( - 6 ; 10 )

$d_{AB} =\sqrt{(-6-(-1) )^2+(10-(-2))^2 }=\sqrt{(-6+1)^2+(10+2)^2}$

$=\sqrt{(-5)^2+(12)^2}=\sqrt{25+144} =\sqrt{169} =13$

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2)    A ( x ; - 3 )         B ( 6 ; 0 )

$5 =\sqrt{(6-x )^2+(0-(-3))^2 }=\sqrt{(6-x )^2+(+3)^2 }=\sqrt{(6-x )^2+9 }$

$5 =\sqrt{(6-x )^2+9 }$

Elevar ambos os membros ao quadrado

$(5)^2 =(\sqrt{(6-x )^2+9 })^2$

25 = ( 6 - x )² + 9

Tem-se aqui um Produto Notável que é o Quadrado de uma Diferença

Regra de desenvolvimento de um Quadrado de uma Diferença

( a - b )² = a² - 2 * a * b + b²  

Agora por palavras

O quadrado de uma diferença =

= quadrado do 1º termo - dobro do produto do 1º termo pelo2º termo +

+ quadrado do 2º termo

25 = 6² - 2 * 6 * x + x² + 9

25 = 36 - 12x + x² + 9

- x² + 12x + 25 - 9 - 36 = 0

- x² + 12x - 20 = 0    

Fórmula de Bhaskara

x =  ( - b ± √Δ) /2a      com  Δ = b² - 4 * a* c      a ≠ 0

- x² + 12x - 20 = 0    

a = - 1

b = 12

c = - 20

Δ = 12² - 4 * ( - 1 ) * ( - 20 ) = 144 - 80 = 64

√Δ = √64 = 8

x1 = ( - 12 + 8 ) / ( 2 * ( - 1 ) )

x1 = - 4 / ( - 2 )

x1 = 2

x2 = ( - 12 - 8 ) / (- 2 )

x2 = -20 / ( - 2 )

x2 = 10

Quando se eleva ao quadrado uma equação, os resultados finais têm que

ser substituídos na equação original, para verificação de validade.

Se x = 2

$5 =\sqrt{(6-2 )^2+(0-(-3))^2 }=\sqrt{4^2+3^2} =\sqrt{16+9} =\sqrt{25} =5$

O x = 2 valida a equação inicial pois fica 5 = 5

Donde se conclui que o " x " pode ser 2   logo b)

O exercício terminou.

( ver em gráfico em anexo 1 que c = 5 , ou seja  a distância de A a B )

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Podemos fazer verificação para x = 10

$5 =\sqrt{(6-10 )^2+(0-(-3))^2 }$

$5 =\sqrt{(-4 )^2+3^2 }$

$5 =\sqrt{16+9 }$

$5 =5$     validado o valor x = 10

Também x = 10 validava o enunciado.

( ver em gráfico em anexo 2 que c = 5 , ou seja  a distância de A a B )

Bons estudos.

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( * ) multiplicação    ( / )  divisão     ( ≠ )  diferente de