Question

⚠️ Alguem me ajuda? Analisando a Hipociclóide a seguir, com suas paramétricas indicadas, calcule o comprimento do arco que está descrito em seu primeiro quadrante.

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada.

Neste caso, temos um hipocicloide parametrizado por:

$\begin{cases}x=2\sin^3(t)\\y=2\cos^3(t)\\\end{cases},~t\in\left[0,~\dfrac{\pi}{2}\right]$

Seja $r(t)=(x(t),~y(t))$ a curva parametrizada em função de $t$. O comprimento de arco desta curva, compreendida em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculado pela integral: $\displaystyle{\int_a^b ||r'(t)||\,dt$, em que $r'(t)=(x'(t),~y'(t))$ e $||r'(t)||=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}$.

Então, temos:

$r(t)=(2\sin^3(t),~2\cos^3(t))$

Calculamos $r'(t)$, lembrando que:

• A derivada é um operador linear, logo vale que: $(c\cdot f(t))'=c\cdot f'(t)$.
• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $(f(g(t)))'=g'(t)\cdot f'(g(t))$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(t^n)'=n\cdot t^{n-1}$.
• A derivada da função seno é igual a função cosseno: $(\sin(t))'=\cos(t)$.
• A derivada da função cosseno é o oposto da função seno: $(\cos(t))'=-\sin(t)$,

$r'(t)=((2\sin^3(t))',~(2\cos^3(t))')$

Aplique a linearidade e a regra da cadeia

$r'(t)=\left(2\cdot\dfrac{d(\sin^3(t))}{d\sin(t)}\cdot \dfrac{d\sin(t)}{dt} ,~2\cdot\dfrac{d(\cos^3(t))}{d\cos(t)}\cdot \dfrac{d\cos(t)}{dt}\right)$

Aplique a regra da potência e calcule as derivadas das funções seno e cosseno

$r'(t)=(2\cdot3\cdot\sin^2(t)\cdot\cos(t) ,~2\cdot3\cdot \cos^2(t)\cdot(-\sin(t)))$

Multiplique os termos

$r'(t)=(6\sin^2(t)\cos(t),\,-6\sin(t)\cos^2(t))$

Agora, calculamos $||r'(t)||$

$||r'(t)||=\sqrt{(6\sin^2(t)\cos(t))^2+(-6\sin(t)\cos^2(t))^2}$

Calcule as potências

$||r'(t)||=\sqrt{36\sin^4(t)\cos^2(t)+36\sin^2(t)\cos^4(t)}$

Podemos fatorar o radicando da seguinte maneira: $36\sin^4(t)\cos^2(t)+36\sin^2(t)\cos^4(t)=36\sin^2(t)\cos^2(t)\cdot(\sin^2(t)+\cos^2(t))$, onde utilizamos a identidade trigonométrica fundamental $\sin^2(t)+\cos^2(t)=1$, fazendo com que tenhamos:

$||r'(t)||=\sqrt{36\sin^2(t)\cos^2(t)}$

Calcule o radical

$||r'(t)||=6\sin(t)\cos(t)$

Utilizando a identidade $\sin(2t)=2\sin(t)\cos(t)$, temos:

$||r'(t)||=3\cdot 2\sin(t)\cos(t)\\\\\\ ||r'(t)||=3\sin(2t)$

Então, antes de substituir este resultado na integral, devemos calcular os limites de integração: no primeiro quadrante do plano cartesiano, este hipocicloide está compreendido entre os pontos $(0,~2)$ e $(2,~0)$.

Após a parametrização, esta curva está compreendida entre os pontos $(0,~0)$ e $\left(\dfrac{\pi}{2},~\dfrac{\pi}{2}\right)$. Com isso, determina-se que o intervalo de integração em $t$ deve ser $0\leq t\leq \dfrac{\pi}{2}$.

A integral se torna:

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}3\sin(2t)\,dt}$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral é um operador linear, logo que vale: $\displaystyle{\int c\cdot f(t)\,dt=c\cdot \int f(t)\,dt}$.
• A integral da função seno é igual ao oposto da função cosseno: $\displaystyle{\int \sin(t)\,dt=-\cos(t)+C,~C\in\mathbb{R}}$.
• A integral definida de uma função $f(t)$, contínua e integrável em um intervalo $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(t)\,dt=F(t)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$.

Aplique a linearidade

$\displaystyle{3\cdot\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(2t)\,dt}$

Faça uma substituição $u=2t$. Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $t$:

$\dfrac{d}{dt}(u)=\dfrac{d}{dt}(2t)$

Utilizando as regras anteriores, calcule o diferencial $\dfrac{du}{dt}$

$\dfrac{d(u)}{du}\cdot \dfrac{du}{dt}=2\cdot \dfrac{d(t)}{dt}\\\\\\ 1\cdot u^{1-1}\cdot \dfrac{du}{dt}=2\cdot 1\cdot t^{1-1}\\\\\\ \dfrac{du}{dt}=2$

Isole $dt$

$dt=\dfrac{du}{2}$

Lembre-se de alterar também os limites de integração. Quando $t=0,~u=0$ e quando $t=\dfrac{\pi}{2},~u=\pi$. A integral se torna:

$\displaystyle{3\cdot\int_0^{\pi}\sin(u)\cdot\dfrac{du}{2}}$

Aplique a linearidade e calcule a integral da função seno

$\dfrac{3}{2}\cdot(-\cos(u))~\biggr|_0^{\pi}$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{3}{2}\cdot(-\cos(\pi)-(-\cos(0)))$

Sabendo que $\cos(\pi)=-1$ e $\cos(0)=1$, finalmente temos:

$\dfrac{3}{2}\cdot(-(-1)-(-1)))\\\\\\ \dfrac{3}{2}\cdot 2\\\\\\ 3~\bold{u.~c}~~\checkmark$

Este é o comprimento do arco desta curva parametrizada.