Question

Alguém me ajuda a responder a 64 pfvv é URGENTEEE!!!

Answer 1

a) $\mathrm{\ell og}_{12\,}(x+9)>0~~~~~~(\text{mas }0=\mathrm{\ell og}_{12\,}1)$

$\mathrm{\ell og}_{12\,}(x+9)>\mathrm{\ell og}_{12\,}1~~~~~~\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\;$Condição de existência dos logaritmos:

O logaritmando deve ser positivo (isto é, maior que zero). Devemos ter,

$x+9>0\\\\ x>-9$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a inequação $\mathbf{(i)}:$

Como a base é $12>1,$ a desigualdade é preservada para os logaritmandos. Portanto, devemos ter

$x+9>1\\\\ x>1-9\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x>-8 \end{array}}$

( já satisfaz a condição de existência )


b) $\mathrm{\ell og}_{\frac{1}{3}\,}(x^2-4)<\mathrm{\ell og}_{\frac{1}{3}\,}5$

$\bullet\;\;$ Condição de existência:

$x^2-4>0\\\\ (x+2)\,(x-2)>0$


As raízes do lado esquerdo são

$x_1=-2~~\text{ e }~~x_2=2$


Como queremos que o produto do lado esquerdo seja positivo, devemos ter

$x<x_1~~\text{ ou }~~x>x_2\\\\ x<-2~~\text{ ou }~~x>2$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a inequação dada:

Como a base é $\dfrac{1}{3}\,,$ e $0<\dfrac{1}{3}<1\,,$ o sentido da desigualdade se inverte para os logaritmandos.

( o sinal de < se torna > )


E ficamos com

$x^2-4>5\\\\ x^2-4-5>0\\\\ x^2-9>0\\\\ (x+3)\,(x-3)>0$


As raízes do lado esquerdo são $-3$ e $3.$ Como queremos que o produto seja positivo, devemos ter,

$\boxed{\begin{array}{c}x<-3~~\text{ ou }~~x>3\end{array}}$

( e esta solução já satisfaz as condições de existência )


c) $\mathrm{\ell og}_{0,2\,}(x-2)\le\mathrm{\ell og}_{0,2}\!\left(\dfrac{1}{3} \right )$

$\bullet\;\;$ Condição de existência do logaritmo:

$x-2>0\\\\ x>2$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a inequação:

Como a base é $0,2\,,$ e $0<0,2<1\,,$ o sentido da desigualdade se inverte para os logaritmandos:

( o sinal ≤ torna-se ≥ )

$x-2\ge \dfrac{1}{3}\\\\\\ x\ge \dfrac{1}{3}+2\\\\\\ x\ge \dfrac{1}{3}+\dfrac{6}{3}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x\ge \dfrac{7}{3} \end{array}}$

( a solução já satisfaz a condição de existência )


d) $\mathrm{\ell og}_{8\,}x\ge 2$

$\mathrm{\ell og}_{8\,}x\ge \mathrm{\ell og}_{8\,}(8^2)\\\\ \mathrm{\ell og}_{8\,}x\ge \mathrm{\ell og}_{8\,}64$


A condição de existência aqui é $x>0.$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a inequação:

Como a base é $8>1,$ a desigualdade é preservada para os logaritmandos:

$\boxed{\begin{array}{c}x\ge 64 \end{array}}$

( já satisfaz a condição de existência )


e) $\mathrm{\ell og}_{3\,}(\mathrm{\ell og}_{3\,}x)>0$

$\bullet\;\;$ Condições de existência:

$x>0\\\\ \mathrm{\ell og}_{3\,}x>0~~~~~\text{(pois est\'a como logaritmando...)}\\\\ \mathrm{\ell og}_{3\,}x>\mathrm{\ell og}_{3\,}1\\\\ x>1~~~~(\text{automaticamente j\'a satisfaz }x>0)$


Resolvendo a inequação:

$\mathrm{\ell og}_{3\,}(\mathrm{\ell og}_{3\,}x)>0\\\\ \mathrm{\ell og}_{3\,}(\mathrm{\ell og}_{3\,}x)>\mathrm{\ell og}_{3\,}1\\\\ \mathrm{\ell og}_{3\,}x>1\\\\ \mathrm{\ell og}_{3\,}x>\mathrm{\ell og}_{3\,}3\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x>3 \end{array}}$

( os sentidos foram mantidos pois a base é $3>1.$ A solução obtida já satisfaz a condição de existência )


f) $\mathrm{\ell og}_{0,2\,}(x+3)>0$

$\bullet\;\;$ A condição de existência é

$x+3>0\\\\ x>-3$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a inequação:

$\mathrm{\ell og}_{0,2\,}(x+3)>0\\\\ \mathrm{\ell og}_{0,2\,}(x+3)>\mathrm{\ell og}_{0,2\,}1\\\\ x+3<1\\\\ x<1-3\\\\ x<-2$


Combinando com a condição de existência, a solução é

$\boxed{\begin{array}{c}-3<x<2 \end{array}}$


Bons estudos! :-)