Question

alguem me ajuda a resolver esse exercicios
Exercícios
Demonstre que a derivada f’(x) = lim--->0 f(x)=(x+∆)⁡-f(x)/∆x da função f(x) = 3x2 – 4x + 8 é f’(x) = 6x – 4.

Answer 1

Mostrar que a derivada da função

     f(x) = 3x² − 4x + 8

é

     f'(x) = 6x − 4

usando a definição via limite:

                           f(x + ∆x) − f(x)
     f'(x) =   lim   ————————
             ∆x → 0           ∆x

—————

Chamemos  ∆x = h.  Dessa forma, o limite que expressa a derivada de  f  é

     $\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\\\ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{[3(x+h)^2-4(x+h)+8]-[3x^2-4x+8]}{h}$


Desenvolva o quadrado da soma, usando produtos notáveis:

     $\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{[3(x^2+2xh+h^2)-4(x+h)+8]-[3x^2-4x+8]}{h}\\\\\\ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{[3x^2+6xh+3h^2-4x-4h+8]-[3x^2-4x+8]}{h}\\\\\\ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\,\diagup\!\!\!\!\!\! 3x^2+6xh+3h^2-\diagdown\!\!\!\!\!\! 4x-4h+\!\!\diagup\!\!\!\!\diagup\!\!\!\! 8-\diagup\!\!\!\!\!\! 3x^2+\diagdown\!\!\!\!\!\! 4x-\!\!\diagup\!\!\!\!\diagup\!\!\!\! 8}{h}$

     $\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{6xh+3h^2-4h}{h}$


Coloque  h  em evidência no numerador e simplifique:

     $\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\diagup\!\!\!\!\! h\cdot (6x+3h-4)}{\diagup\!\!\!\!\! h}\\\\\\ f'(x)=\lim_{h\to 0}(6x+3h-4)$


Fazendo $h\to 0,$ obtemos

     $f'(x)=6x+3\cdot 0-4$

     $\boxed{\begin{array}{c}f'(x)=6x-4\end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{resposta.}$


Bons estudos! :-)