Question

Alguém me ajuda a resolver esse exercício de cálculo, atividade na imagem

Answer 1

π/4 = 45º

lim (x > 45º)  (sen x - cos x)/(tan x - 1) =          substituindo:
(sen 45º - cos 45º)/(tan (45º) - 1) = 
(√2/2 - √2/2)/(1 - 1) = 
0/0       (forma indeterminada)

Como chegamos em uma forma indeterminada, teremos que dar algum jeito de sair dela, há alguns modos:
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Modo 1:
lim (x > 45º)  (sen x - cos x)/(tan x - 1) =             tan x= sen x/cos x  
lim (x > 45º)  (sen x - cos x)/(senx/cos x  - 1) = 

Agora, iguale os denominadores, na parte de baixo dessa fração:
lim (x > 45º)  (sen x - cos x)/(senx/cos x  - cos x/cos x) =  
lim (x > 45º)  (sen x - cos x)/((senx - cos x)/cos x) =  

Troque o sinal de divisão para multiplicação e inverta a segunda fração:
lim (x > 45º)  (sen x - cos x) . (cos x)/(sen x - cos x) =   simplificando:

lim (x > 45º)  cos x        <<< substitua o valor de x:
                     cos 45º = √2 /2   
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Modo 2, por L'Hopital:

lim (x > 45º)  (sen x - cos x)/(tan x - 1) =    derive em cima e derive embaixo:

lim (x > 45º)  (cos x - (-sen x))/(sec² x) = 
lim (x > 45º)  (cos x + sen x)/(sec x)² =               como sec x = 1/cos x:
lim (x > 45º)  (cos x + sen x)/(1/cos x)² =             substituindo:
(cos 45º + sen 45º)/(1/cos 45º)² = 
(√2 /2 + √2 /2)/(1/(√2 /2))² = 
(√2)/(1. 2 /√2)² = 
(√2)/(2/√2)² = 
(√2)/(4/2) = 
√2/ 2             
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De qualquer modo: lim (x > π/4)  (sen x - cos x)/(tan x - 1) = √2 /2

Bons estudos