Question

Alguém me ajuda a resolver a letra C? a letra A e B eu consegui, mas a C não.

Answer 1

Depois que descobrimos o K e fizemos a substituição:

$f(x+1) + \frac{ \sqrt{2} }{2} = g(2x) \\ \\ 1 + 2^{x+1}+ \frac{ \sqrt{2} }{2} = ( \frac{1}{2} )^{ 2x} + \frac{2+ \sqrt{2} }{2}$

Daí lembramos que   $( \frac{x}{y} )^{2}= \frac{x^{2}}{y^{2}}$

$1 + 2^{x+1}+ \frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{1^{ 2x}}{2^{ 2x}} + \frac{2+ \sqrt{2} }{2}$
(o número 1 elevado a qualquer expoente é igual a 1)

E agora soma de frações:
$\frac{2+2^{x+2}+ \sqrt{2} }{2} = \frac{2+2^{2x+1}+2^{2x}. \sqrt{2} }{2^{2x+1}}$

Lembrando que $\sqrt{2} = 2^{ \frac{1}{2} }$

$\frac{2+2^{x+2}+ 2^{ \frac{1}{2} } }{2} = \frac{2+2^{2x+1}+2^{2x}. 2^{ \frac{1}{2} } }{2^{2x+1}} \\ \\ \frac{2+2^{x+2}+ 2^{ \frac{1}{2} } }{2} = \frac{2+2^{2x+1}+2^{2x+ \frac{1}{2} } }{2^{2x+1}}$

Passa os denominadores pro lado oposto, multiplicando:
$({2+2^{x+2}+ 2^{ \frac{1}{2} }). {2^{2x+1}} = (2+2^{2x+1}+2^{2x+ \frac{1}{2}} ).2$

${2^{2x+1+1}+2^{2x+1+x+2}+ 2^{ \frac{1}{2}+2x+1 } = 2^{2}+2^{2x+1+1}+2^{2x+ \frac{1}{2}+1}$

${2^{2x+2}+2^{3x+3}+ 2^{ \frac{1}{2}+2x+1 } = 2^{2}+2^{2x+2}+2^{2x+ \frac{1}{2}+1}$

Daí , já que eles estão somando e você pode ver que tem o mesmo termo positivo dos dois lados, dá pra cancelar os números com mesmo expoente, fica:
$2^{3x+3} = 2^{2}$

Exponencial, mesma base iguala os expoentes:
3x + 3 = 2
x = -1/3