Question

Alguém me ajuda a fazer e calcular os limites

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x^2-6x+8}=-\dfrac{1}{4\sqrt{2}}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos este limite, utilizaremos algumas propriedades para encontrarmos uma fração equivalente e que possamos aplicar as regras.

Seja o limite $\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x^2-6x+8}$

Na maioria dos exercícios que envolvem o limite de raízes nesta forma, realizamos o seguinte processo:

Multiplique o numerador e o denominador da fração pelo conjugado do numerador, isto é:

$\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x^2-6x+8}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$

Multiplique as frações, relembrando da propriedade do produto da soma pela diferença.

$\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{x-2}{(x^2-6x+8)\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{2})}$

Então, deixaremos o polinômio no denominador na forma canônica $a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)$, tal que $x_1$ e $x_2$ são as raízes deste polinômio. Para isso, utilizamos a fórmula resolutiva e substituímos os valores dos coeficientes:

$x=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot1\cdot8}}{2\cdot 1}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x=\dfrac{6\pm\sqrt{36-32}}{2}$

Some os valores

$x=\dfrac{6\pm\sqrt{4}}{2}$

Sabendo que $4=2^2$, teremos

$x=\dfrac{6\pm2}{2}$

Separe as soluções

$x=\dfrac{6-2}{2}~~~\mathtt{ou}~~~x=\dfrac{6+2}{2}$

Some os valores

$x=\dfrac{4}{2}~~~\mathtt{ou}~~~x=\dfrac{8}{2}$

Simplifique as frações

$x=2~~~\mathtt{ou}~~~x=4$

A forma canônica deste polinômio é $x^2-6x+8=(x-2)\cdot(x-4)$.

Nosso limite se torna:

$\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{x-2}{(x-2)\cdot(x-4)\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{2})}$

Simplifique a fração

$\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{1}{(x-4)\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{2})}$

Sabendo que as funções são contínuas em $x=2$, lembre-se que:

• O limite de uma função racional, contínuas em $x=c$, pode ser reescrito como $\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~f(x)}{\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~g(x)}$.
• O limite de uma função contínua em $x=c$ é dado pelo seu valor neste ponto: $\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~f(x)=f(c)$.
• O limite de uma constante é igual a própria constante.
• O limite de um produto de funções, contínuas em $x=c$, é dado pelo produto dos limites das funções: $\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~f(x)\cdot g(x)=\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~f(x)\cdot \underset{x\rightarrow~c}{\lim}~g(x)$.

Dessa forma, teremos:

$\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{1}{(x-4)\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{2})}= \dfrac{\underset{x\rightarrow2}{\lim}~1}{\underset{x\rightarrow2}{\lim}~(x-4)\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{2})}$

Aplicando a propriedade da constante e do produto

$\dfrac{1}{\underset{x\rightarrow2}{\lim}~(x-4)\cdot\underset{x\rightarrow2}{\lim}~(\sqrt{x}+\sqrt{2})}$

Calcule os limites

$\dfrac{1}{(2-4)\cdot(\sqrt{2}+\sqrt{2})}$

Some e multiplique os valores

$\dfrac{1}{(-2)\cdot2\sqrt{2}}\\\\\\\\\ -\dfrac{1}{4\sqrt{2}}$

Este é o valor deste limite.