Question

Alguém fera sabe responder?

Answer 1

Os pontos de interseção dos gráficos de $y=x^2$ e $y = 4$ são:

$x^2 = 4 \iff x= \pm 2.$

Portanto, a região de integração situa-se acima da parábola de equação $y=x^2$, abaixo da reta $y=4$ e entre as retas de equação $x=\pm 2$, como assinalado a azul na figura em anexo.

Assim sendo, o volume é dado por:

$\displaystyle V = \iint\limits_R f(x,y) \textrm{ d}x \textrm{ d}y = \int\limits_{-2}^{2} \left( \int\limits_{x^2}^{4} 5x^2 \textrm{ d}y \right) \textrm{ d}x = \int\limits_{-2}^{2}\left( 5x^2 \int\limits_{x^2}^{4} \textrm{ d}y \right)\textrm{ d}x =$

$\displaystyle = \int\limits_{-2}^{2}\left( 5x^2 \left[y\right]_{y=x^2}^{y=4}\right)\textrm{ d}x = 5\int\limits_{-2}^{2} x^2 (4-x^2)\textrm{ d}x = 5\int\limits_{-2}^{2} (4x^2 -x^4) \textrm{ d}x =$

$\displaystyle =5\left[4\times\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^5}{5}\right]_{x=-2}^{x=2} =5\left[4\times \dfrac{8}{3}-\dfrac{32}{5}-\left(-4\times \dfrac{8}{3}+\dfrac{32}{5}\right)\right] =$

$=5\left(4\times \dfrac{8}{3}-\dfrac{32}{5}+4\times \dfrac{8}{3}-\dfrac{32}{5}\right) = 5\left(\dfrac{64}{3}-\dfrac{64}{5}\right) = 5\times 64\times\dfrac{5-3}{15} = \dfrac{120}{3}.$