Question

alguem faz pfvr é urgente

Answer 1

A primeira circunferência possui equação x² + y² = 4, já a segunda possui o centro C(2,0). Para descobrir a equação da circunferência (B) devemos prestar atenção que essa coordenada 2 é justamente o raio da mesma, pois parte do centro dela até a origem, então temos que a sua equação é dada por:

$(x - a) {}^{2} + (y - b) {}^{2} = r {}^{2} \\ (x - 2) {}^{2} + (y - 0) {}^{2} = 2 {}^{2} \\ (x - 2) {}^{2} + y {}^{2} = 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Essa é a equação da circunferência (B). Agora vanos montar a equação da reta (t). Pela figura vemos que ela passa pelo ponto P(0,0) e tem coeficiente angular (m = 30°), jogando esses dados na equação fundamental da reta, temos:

$y - y_0 = m.(x - x_0) \\ y - 0 = m.(x - 0) \: \: \: \:$

Pelo que sabemos "m" é igual a tangente do ângulo (m = tg(a)), logo:

$y - 0 = \tg30 {}^{ \circ} .(x - 0) \\ y = \frac{1}{2} x$

Essa é a equação da reta (t). Com essas informações podemos encontrar o ponto A, já que o mesmo é a interseção da circunferência (B) com essa tal reta:

$(x - 2) {}^{2} + y {}^{2} = 4 \: \: \: \: e \: \: \: y = \frac{x}{2} \\ substituindo: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ (x - 2) {}^{2} + \left( \frac{x}{2} \right) {}^{2} = 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ x {}^{2} - 4x + 4 + \frac{x {}^{2} }{4} = 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ x {}^{2} + \frac{x {}^{2} }{4} - 4x =4 - 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \frac{5x {}^{2} }{4} - 4x = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \frac{5x {}^{2} - 16x}{4} = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 5x {}^{2} - 16x = 4.0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 5x {}^{2} - 16x = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Resolvendo essa equação do segundo grau:

$x.(5x - 16) = 0 \to \begin{cases}x_1 = 0 \\ x_2 = \frac{16}{5} \end{cases}$

Temos então esses dois pontos de interseção, o primeiro ponto x = 0 é aquele que a reta toca a circunferência na origem, já o x = 16/5 é justamente a abscissa do ponto A, com esse dado em mãos vamos descobrir a ordenada (y) respectiva a x = 16/5:

$y = \frac{1}{2} x \longrightarrow y = \frac{1}{2} . \frac{16}{5} \longrightarrow y = \frac{16}{10} \longrightarrow y = \frac{8}{5}$

Concluímos então que o ponto A possui a seguinte coordenada:

$\boxed{ \boxed{A \left( \frac{16}{5} , \frac{8}{5} \right)}}$

Já eu faço o calculo da área