Question

Alguém explica, por favor?
sen (x-π/4) + cos (x-π/4) = $- \frac{ \sqrt{6} }{2}$

Answer 1

Oi DRLSS.

Segundo a operação com arcos nós temos:

$\boxed{\boxed {sen(a-b)=sena*cosb-senb*cosa}} \\ \\ \boxed{\boxed {cos(a-b)=cosa*cosb-sena*senb}}$

Então vamos trabalhar primeiro o seno.
Lembrando que pi/4 é 45°

$sen(x-45^{ o })=senx*cos45^{ o }-sen45^{ o }*cosx$

O seno e o cosseno de 45° valem raiz de 2 sobre 2.

$sen(x-45^{ o })=senx*\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } -\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } *cosx$

Colocando em evidência teremos:

$sen(x-45)=\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } (senx-cosx)$


Agora vamos calcular o cosseno.

$cos(x-45^{ o })=cosx*cos45^{ o }+senx*sen45^{ o }\\ cos(x-45^{ o })=cosx*\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } +senx*\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 }$

Colocando em evidência.

$cos(x-45^{ o })=\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } (cosx+senx)$

Agora é só fazer a operação que o exercício pede.

$\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } (senx+cosx-cosx+senx)=-\frac { \sqrt { 6 } }{ 2 }$

Aqueles cossenos se cancelarão.

$\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } (2senx)=-\frac { \sqrt { 6 } }{ 2 }$

Aqueles dois também irão se cancelar.

$\sqrt { 2 } *2senx=-\sqrt { 6 }$

Passando o 2 raiz de 2 para o outro lado dividindo.

$senx=-\frac { \sqrt { 6 } }{ 2\sqrt { 2 } }$

Não podemos deixar raiz no denominador, então temos que multiplicar em cima e em baixo pelo denominador.

$senx=-\frac { \sqrt { 6 } }{ 2\sqrt { 2 } } *\frac { 2\sqrt { 2 } }{ 2\sqrt { 2 } } \\ \\ senx=-\frac { 2\sqrt { 12 } }{ 4\sqrt { 4 } } \Rightarrow -\frac { 2\sqrt { 12 } }{ 4*2 } \Rightarrow -\frac { 2\sqrt { 12 } }{ 8 } \\ \\ senx=-\frac { \sqrt { 12 } }{ 4 } \Rightarrow -\frac { \sqrt { 4 } *\sqrt { 3 } }{ 4 } \Rightarrow -\frac { 2\sqrt { 3 } }{ 4 } \\ \\ \\ senx=-\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 }$

Raiz de 3 sobre 2 é 60°.
Mas ele quer o valor negativo, e isso só acontece no 3° e 4° quadrantes.


$senx=240^{ o }\quad ou\quad 300^{ o }$

ou

$\Huge \boxed{\boxed {x=\frac { 4\pi }{ 3 } \quad ou\quad \frac { 5\pi }{ 3 } }}$