Question

alguém da uma ajuda, to tentando já faz um tempinho

Answer 1

O triângulo BCD é isósceles. Veja na figura que formamos um triângulo 30°, 60° e 90°. Sabe-se que este é um triângulo especial, nele temos que o lado oposto ao ângulo de 30° vale x, o lado adjacente ao ângulo de 30° vale x√3 e a hipotenusa vale 2x.

Já que temos os lados, podemos simplesmente aplicar o teorema de pitágoras:

$(2x + x \sqrt{3} ) ^{2} + {x}^{2} = {1}^{2}$

$4 {x}^{2} + {x}^{2} 4 \sqrt{3} + 3 {x}^{2} + {x}^{2} = 1$

$8 {x}^{2} + {x}^{2} 4 \sqrt{3} = 1$

${x}^{2} (8 + 4 \sqrt{3} ) = 1$

${x}^{2} = \frac{1}{8 + 4 \sqrt{3} }$

Agora temos que racionalizar o denominador:

${x}^{2} = \frac{1}{8 + 4 \sqrt{3} } \times \frac{8 - 4 \sqrt{3} }{8 - 4 \sqrt{3} }$

${x}^{2} = \frac{8 - 4 \sqrt{3} }{(8 + 4 \sqrt{3} )(8 - 4 \sqrt{3}) }$

${x}^{2} = \frac{8 - 4 \sqrt{3} }{64 - 48}$

${x}^{2} = \frac{8 - 4 \sqrt{3} }{16}$

${x}^{2} = \frac{4(2 - \sqrt{3} )}{16}$

${x}^{2} = \frac{2 - \sqrt{3} }{4}$

$x= \sqrt{ \frac{2 - \sqrt{3} }{4} }$

$x = AB= \frac{ \sqrt{2 - \sqrt{3} } }{2}$

O cosseno equivale a:

$\cos( \beta ) = \frac{cat. \: adjacente}{hipotenusa}$

$\cos(75°) = \frac{ \frac{ \sqrt{2 - \sqrt{3} } }{2} }{1}$

$\cos(75°) = \frac{ \sqrt{2 - \sqrt{3} } }{2}$

Letra A.