Question

Alguém da uma ajuda com essa questão ai?$\int\frac{x-1}{(x+1)(x-2)} \, dx$

Answer 1

Olá Souzaah91, neste exercício vamos estudar como resolver uma integral por frações parciais. Vamos lá!

Resposta:

$\frac{-2}{3}.ln|x+1|+\frac{1}{3}.ln|x-2|+c$

Explicação passo-a-passo:

O teorema nos diz que um quociente de duas funções na forma:

$\frac{A.x+B}{(x-a).(x-b)}=\frac{C}{x-a}+\frac{D}{x-b}$

Vamos à solução.

Lembrando que:

$\int \limits {f(x)+g(x)} \,dx=\int \limits {f(x)}\,dx +\int \limits {g(x)}\,dx$

$\int \limits {k.f(x)}\,dx=k.\int\limits {f(x)}\,dx$

$\int \limits \frac{1}{x}\,dx=ln|x|+c$

Inicialmente, vamos usar o teorema para transformar este produto numa soma. Temos:

$\frac{x-1}{(x+1).(x-2)}=\frac{C}{x+1}+\frac{D}{x-2}=\frac{C(x-2)+D(x+1)}{(x+1).(x-2)}=\frac{(C+D)x+(-2C+D)}{(x+1).(x-2)}$

Pela igualdade de polinômios, devemos ter, por definição:

C+D=1 => D=1-C

-2C+D=-1 => -2C+(1-C)=-1 => -3C=-2 => C=-2/3

e

D=1-C=1 - 2/3=1/3

Sendo assim, pelo teorema das frações parciais, teremos:

$\frac{x-1}{(x+1).(x-2)}=\frac{\frac{-2}{3}}{x+1}+\frac{\frac{1}{3}}{x-2}$.

Logo:

$\int \limits {\frac{x-1}{(x+1).(x-2)} \, dx=\int \limits {\frac{\frac{-2}{3}}{x+1}+\frac{\frac{1}{3}}{x-2} } \, dx=\frac{-2}{3}.\int \limits {\frac{1}{x+1}}\,dx + \frac{1}{3}.\int \limits {\frac{1}{x-2}} \, dx=\frac{-2}{3}.ln|x+1|+\frac{1}{3}.ln|x-2|+c$

Espero ter ajudado e esclarecido suas dúvidas!