alguém cria 4 questões de P.A pra mim pfvr
Soluções para a tarefa
q-1
Em relação à progressão aritmética (10, 17, 24, …), determine:
a) o termo geral dessa PA;
b) o seu 15° termo;
c) a soma a10 + a 20.
Questão 2
Resposta Questão 1
a) Para encontrar o termo geral da progressão aritmética, devemos, primeiramente, determinar a razão r:
r = a2 – a1
r = 17 – 10
r = 7
A razão é 7, e o primeiro termo da progressão (a1) é 10. Através da fórmula do termo geral da PA, temos:
an = a1 + (n – 1). r
an = 10 + (n – 1). 7
Portanto, o termo geral da progressão é dado por an = 10 + (n – 1). 7.
b) Como já encontramos a fórmula do termo geral, vamos utilizá-la para encontrar o 15° termo. Tendo em vista que n = 15, temos então:
an = 10 + (n – 1). 7
a15 = 10 + (15 – 1). 7
a15 = 10 + 14 . 7
a15 = 10 + 98
a15 = 108
O 15° termo da progressão é 108.
c) Vamos utilizar a fórmula do termo geral para identificar os elementos a10 e a 20 da PA:
an = 10 + (n – 1). 7
a10 = 10 + (10 – 1). 7
a10 = 10 + 9 . 7
a10 = 10 + 63
a10 = 73
an = 10 + (n – 1). 7
a20 = 10 + (20 – 1). 7
a20 = 10 + 19 . 7
a20 = 10 + 133
a20 = 143
A soma a10 + a 20 é dada por:
a10 + a 20 = 73 + 143 = 216
q-2
Determine:
a) a soma dos 10 primeiros termos da PA (2, 5, …);
b) a soma dos 15 primeiros termos da PA (– 1, – 7, …);
c) a soma dos 20 primeiros termos da PA (0,5; 0,75, …).
Resposta Questão 2
a) Para encontrar a soma dos 10 primeiros termos da PA (2, 5, …), precisamos identificar a razão e o termo a10. A razão pode ser encontrada pela subtração entre o primeiro termo e o segundo, ou seja, r = 5 – 2 = 3. Vamos utilizar a fórmula do termo geral para encontrar o 10° termo dessa sequência:
an = a1 + (n – 1). r
a10 = 2 + (10 – 1). 3
a10 = 2 + 9 . 3
a10 = 2 + 27
a10 = 29
Agora utilizaremos a fórmula da soma dos termos de uma PA finita. Sabendo que o primeiro termo da progressão é 2 e que n = 10, temos:
Sn = (a1 + an) . n
2
S10 = (2 + 29) . 10
2
S10 = 31 . 10
2
S10 = 155
A soma dos 10 primeiros termos da PA (2, 5, …) é 155.
b) Inicialmente, vamos identificar a razão e o termo a15. A razão é dada por:
r = – 7 – (– 1)
r = – 7 + 1
r = – 6
Através da fórmula do termo geral, vamos encontrar o 15° termo da PA:
an = a1 + (n – 1). r
a15 = – 1 + (15 – 1). (– 6)
a15 = – 1 + 14 . (– 6)
a15 = – 1 – 84
a15 = – 85
Agora utilizaremos a fórmula da soma dos termos de uma PA finita. Como n = 15, temos:
Sn = (a1 + an) . n
2
S15 = [(– 1) + (– 85)] . 15
2
S15 = (– 86) . 15
2
S15 = – 645
Portanto, a soma dos 15 primeiros termos da PA (– 1, – 7, …) é – 645.
c) Precisamos identificar a razão da PA:
r = 0,75 – 0,5
r = 0,25
Através do termo geral, encontramos o 20° termo dessa sequência:
an = a1 + (n – 1). r
a20 = 0,5 + (20 – 1). 0,25
a20 = 0,5 + 19 . 0,25
a20 = 0,5 + 4,75
a20 = 5,25
Pela fórmula da soma dos termos de uma PA finita, temos:
Sn = (a1 + an) . n
2
S20 = (0,5 + 5,25) . 20
2
S20 = 5,75 . 20
2
S20 = 57,5
A soma dos 20 primeiros termos da PA (0,5; 0,75; …) é 57,5.
Q-3
(IBMEC – SP) Um número triangular é um inteiro da forma , sendo n um inteiro positivo. Considere a tabela:
Posição
1
2
3
...
X
...
Triangular
1
3
6
...
3486
...
A soma dos algarismos de X é:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
Resposta Questão 3
A progressão aritmética em questão é formada pelos números triangulares da tabela em que a1 = 1, a2 = 3, a3 = 6 e ax = 3486. Resta-nos identificar o valor de X para que possamos encontrar a soma de seus algarismos. Observe que a fórmula que fornece os números triangulares assemelha-se à fórmula da soma dos termos de uma PA. Se substituirmos a variável n por X, teremos o número triangular 3486:
→ X . (X + 1) = 3486
2
X . (X + 1) = 6972
X² + X – 6972 = 0
Utilizaremos a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor de X:
Δ = 1² – 4.1.(– 6972)
Δ = 1 + 27888
Δ = 27889
x = – 1 ± √27889
2.1
x = – 1 ± 167
2
x' = 166 = 83
2
x'' = – 168 = – 84
2
Nesse caso, a equação tem duas raízes reais, – 84 e 83, mas como X não pode ser negativo, pois as posições da tabela não estão decrescendo, podemos afirmar que X = 83. Sendo assim, a soma dos algarismos de X é dada por 8 + 3 = 11. Portanto, a alternativa correta é a letra b.