Question

Alguém consegue responder a integral da imagem anexada a esta pergunta? preciso com urgência!

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$21 \int \frac{ \ln(3 + x {}^{2} ) {}^{x} }{3 + x {}^{2} } dx$

Primeiramente vamos aplicar a propriedade dos expoentes no logarítmo natural:

$\ln(3 + x {}^{2} ) {}^{x} = x \: . \: \ln(3 + x {}^{2} )$

Substituindo na integral:

$21 \int \frac{x \: . \: \ln(3 + x {}^{2}) }{3 + x {}^{2} } dx$

Resolvendo por substituição de variável, vamos dizer que u = 3 + x², então:

$u = 3 + x {}^{2} \: \to \: \frac{du}{dx} = 2x \: \to \: \frac{du}{2} = x \: . \: dx$

Substituindo essas informações:

$21 \int \frac{ \frac{du}{2} \: . \: \ln(u)}{u} \: \: \to \: \: 21 \int \frac{ \ln(u) \: . \: du}{2} \: . \: \frac{1}{u} \\ \\ 21 \: . \: \frac{1}{2} \int \frac{ \ln(u) \: . \: du}{u} \: \: \to \: \: \frac{21}{2} \int \frac{ \ln(u) \: . \: du}{u}$

Usando mais uma vez a substituição de variável, vamos dizer que z = ln(u), então:

$z = \ln(u) \: \to \: \frac{dz}{du} = \frac{1}{u} \: \to \: dz = \frac{du}{u}$

Substituindo esses dados:

$\frac{21}{2} \int z \: . \: dz \: \to \: \frac{21}{2} \: . \: \frac{z {}^{2} }{2} \: \to \: \: \frac{21z {}^{2} }{4} + k$

Repondo a função que representa "z":

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{21 \: . \: ( \ln(u)) {}^{2} }{4} + k$

Repondo a função que representa "u":

$\boxed{ \frac{21 \: . (\ln(3 + x {}^{2} ) {}^{} ) {}^{2} }{4} + k,k \in \mathbb{R}}$

Espero ter ajudado