Question

Alguém consegue resolver essa questão?

Dado o campo vetorial V(x, y, z)= xi + 2yj - 3zk, verifique se este campo vetorial representa as velocidades de deslocamento de um fluido, então este fluido é incompressível?

Answer 1

Um campo vetorial é dito incompressível se a divergência do campo for nula.


Temos o seguinte campo de velocidades:

$\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,\;y,\;z)=x\overrightarrow{\mathbf{i}}+2y\overrightarrow{\mathbf{j}}-3z\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\ \overrightarrow{\mathbf{V}}(x,\;y,\;z)=(x,\;2y,\;-3z)$


Calculando a divergência do campo $\overrightarrow{\mathbf{V}}:$

$\mathrm{div~} \overrightarrow{\mathbf{V}}=\nabla\cdot \overrightarrow{\mathbf{V}}\\\\ =\left(\dfrac{\partial}{\partial x},\;\dfrac{\partial}{\partial y},\;\dfrac{\partial}{\partial z} \right)\cdot (x,\;2y,\;-3z)\\\\\\ =\dfrac{\partial}{\partial x}(x)+\dfrac{\partial}{\partial y}(2y)+\dfrac{\partial}{\partial z}(-3z)\\\\\\ =1+2-3\\\\ =0~~~~(\checkmark)$


Logo, o campo $\overrightarrow{\mathbf{V}}$ é incompressível.