Question

alguem consegue provar essa igualdade? sen(arccos 12/13)= 5/13

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Alexia, que a resolução é simples.

Note que o que temos na sua expressão sen(arccos 12/13) = 5/13 está significando o seguinte:

o seno do arco, cujo cosseno é 12/13, é igual a 5/13. Em outras palavras, temos isto: um arco, cujo cosseno é igual a 12/13, terá seno igual a 5/13.
Então o que nos resta provar é se temos um arco "x", cujo cos(x) = 12/13, então o seno desse mesmo arco "x" será igual a 5/13.
Vamos provar isto pela primeira relação fundamental da trigonometria, que diz o seguinte:

sen²(x) + cos²(x) = 1 ---- substituindo-se cos(x) por "12/13", teremos:
sen²(x) + (12/13)² = 1 ---- note que (12/13)² = 144/169. Assim teremos:
sen²(x) + 144/169 = 1 --- passando "144/169" para o 2º membro,temos:
sen²(x) = 1 - 144/169 ---- mmc, no 2º membro = 169. Assim, utilizando-o no 2º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

sen²(x) = (169*1 - 1*144)/169
sen²(x) = (169 - 144)/169
sen²(x) = (25)/169 --- ou apenas:
sen²(x) = 25/169 ---- isolando sen(x), teremos:
sen(x) = ±  √(25/169) ---- note que isto é a mesma coisa que:
sen(x) = ± √(25) / √(169) ---- como √(25) = 5; e √(169) = 13, teremos:
sen(x) = ± 5/13 ---- mas como o arco "x" é do 1º quadrante, pois o cosseno é igual a "12/13" no arco de cerca de 23º, então o seno também será positivo. Logo, tomando apenas a raiz positiva, teremos que:

sen(x) = 5/13 <--- Pronto. Está provada a tese dada na sua questão. Ou seja, sen(arcocos12/13) = 5/13.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.