Question

ALGUÉM BOM DE MATEMÁTICA???? Um professor de matemática desenhou na lousa um relpogio centrado em um plano de Argand-Gauss, como mostra a figura abaixo. Ele representou a extremidade do ponteiro maior no ponto cujo afi xo é z = 2(cos π/2 + i sen π/2) e a do ponteiro menor no ponto cujo afi xo é w = cos π + i sin π . Determine o horário indicado no relógio

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Bom. Como o plano de Argand-Gauss, é Co gruente ao ciclo trigonométrico, é só desenhar um ciclo trigonométrico. Como na imagem acima.

Agora para sabermos as Coordenadas das horas, vamos imaginar o número z no ciclo trigonométrico.

Ele é dado por:

$z = 2( \cos( \frac{\pi}{2} ) + i \sin( \frac{\pi}{2} ) )$

Se multiplicarmos:

$z = 2 \cos( \frac{\pi}{2} ) + 2i \sin( \frac{\pi}{2} )$

Que é igual a:

$z = 2 \times 0 + 2i \times 1$

$z = 0 + 2i$

$z = 2i$

Logo Z é um número imaginário puro por só ter uma parte imaginária.

Disso podemos achar o módulo dele que é dado por:

$|z| = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} }$

Como ele só possui a parte imaginaria, ficaria assim:

$|z| = \sqrt{ {0}^{2} + {2}^{2} }$

$|z| = \sqrt{4}$

$|z | = 2$

Portanto o módulo de Z é 2.

Agora para acharmos o ângulo dele basta utilizar a seguinte propriedade :

$\cos( \gamma ) = \frac{a}{ |z| }$

E

$\sin( \gamma ) = \frac{b}{ |z| }$

Sendo que:

$z = a + bi$

Agora substitua os valores de Z no seno e cosseno da propriedade.

$\cos( \gamma ) = \frac{0}{2} = 0$

$\sin( \gamma ) = \frac{2}{2} = 1$

O único ângulo que se encaixa nesses cores seria o de Z é 90° que colocando num espectro de um relógio fica em 12h

Agora com w também da mesma forma:

$w = 1( \cos( \pi ) + i \sin(\pi) )$

O módulo já está à mostra, que é 1.

$|w| = 1$

Então basta aplicar na propriedade.

$w = 1 \times \cos(\pi) + 1i \times \sin(\pi)$

$w = - 1 + i$

Agora Aplicando a propriedade :

$\cos( \gamma ) = \frac{ - 1}{1} = - 1$

$\sin( \gamma ) = \frac{1}{1} = 1$

Com base nisso o ponteiro dos minutos estará possivelmente entre pi e pi/2 no segundo quadrante.