Question

alguem ajuda nessa integral ?

Answer 1

Temos o seguinte:
$\int\limits^3_2 {3 \ln(x) + x^2} \, dx$
Precisamos calcular a integral indefinida:
$\int {3 \ln(x) + x^2} \, dx = 3\int { \ln(x)} \, dx + \int { x^2} \, dx$
Calculando individualmente, começando com a mais simples:
$\int {x^2} \, dx = \frac{x^3}{3}$
Na integral de $\ln(x)$, utilizaremos integral por partes:
$\int {\ln(x)} \, dx = \int {\ln(x) \cdot 1} \, dx \\ \\ u = \ln(x) \therefore du = \frac{1}{x} \, dx \\ \\ dv = 1 \therefore v = \int 1 \, dx \therefore v= x \\ \\ \int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du\\ \\ \int {\ln(x)} \, dx = \ln(x) \cdot x - \int {x} \cdot \frac{1}{x} \, dx \\ \\ \int {\ln(x)} \, dx = x \cdot \ln(x) - \int {1} \, dx \\ \\ \int {\ln(x)} \, dx = x \cdot \ln(x) - x$
Logo temos:
$3\int { \ln(x)} \, dx + \int { x^2} \, dx = 3 \cdot (x \cdot \ln(x) - x ) + \frac{x^3}{3} + C$
Aplicando os limites:
$\left ( 3 \cdot (x \cdot \ln(x) - x ) + \frac{x^3}{3} \right )\limits_{2}^{3} \\ \\ \left ( 3 \cdot (3 \cdot \ln(3) - 3 ) + \frac{3^3}{3} \right ) - \left ( 3 \cdot (2 \cdot \ln(2) - 2 ) + \frac{2^3}{3} \right ) \\ \\ \left ( 3 \cdot (3 \cdot \ln(3) - 3 ) + 9 \right ) - \left ( 3 \cdot (2 \cdot \ln(2) - 2 ) + \frac{8}{3} \right ) \\ \\ \left ( 9 \cdot \ln(3) - 9 + 9 \right ) - \left ( 6 \cdot \ln(2) - 6 + \frac{8}{3} \right ) \\ \\ 9 \cdot \ln(3) - 6 \cdot \ln(2) + \frac{10}{3}$
$\ln(3^9) - \ln(2^6) + \frac{10}{3} \\ \\ \ln(\frac{3^9}{2^6}) + \frac{10}{3} \\ \\ \int\limits^3_2 {3 \ln(x) + x^2} \, dx =\ln(\frac{3^9}{2^6}) + \frac{10}{3}$