Question

Alguém ajuda com essa questão de limites?
Usando a definição de limite, prove que lim 4 + 3 = 7.
→1

Answer 1

Seja $f$uma função e um ponto contido no domínio de $f$. Dizemos que $f$ tem limite $L$, no ponto $a$, se dado qualquer $\epsilon > 0$, exista um $\delta > 0$ tal que, para qualquer $x$ pertencente ao domínio de $f$, a condição abaixo seja satisfeita:

$0 < |x - a| < \delta \longleftrightarrow |f(x) - L| < \epsilon$

O limite L, quando existe, é único e representamos por:

$\lim_{x \to a}f(x) = L$

Partindo dessa ideia, vamos provar que o limite existe. A questão nos fornece o seguinte limite:

$\lim_{x \to 1}4x + 3 = 7$

Vamos começar pela substituição dos na relação que contém delta ($\delta$):

$0 < |x -1 | < \delta \longleftrightarrow |x -1 | < \delta$

Agora vamos substituir na relação de epsilon ($\epsilon$ ):

$|f(x) - L | < \epsilon \longleftrightarrow |4x + 3 - 7| < \epsilon \longleftrightarrow\\ \\ \longrightarrow |4x - 4| < \epsilon \longleftrightarrow |4.(x - 1)| < \epsilon \longrightarrow \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \longrightarrow |4| . |x - 1| < \epsilon \longleftrightarrow |x - 1| < \frac{ \epsilon}{4} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Observe que ambas as expressões que obtemos foram iguais, então podemos dizer que:

$|x - 1| < \red{\boxed{\delta }}= |x - 1| < \red{\boxed{\frac{ \epsilon}{4}}} \\ \\ \boxed{ \boxed{ \delta = \frac{ \epsilon}{4} }}$

Lembrando que $\forall \:\: \epsilon >0 \:\: \exists \:\: \delta >0$ tal que se $0<|x-1|<\delta$ então $|(4x+3)-7|<\epsilon$.

Tomando esse valor de delta que obtivemos, podemos dizer que:

$|(4x + 3) -7 | = |4x + 3 - 7| = |4x - 4| \longrightarrow \\ \\ \longrightarrow |4.(x - 1)| = |4| . |x - 1| = 4. |x - 1| \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Mas observe que $|x - 1| < \delta$, mas no nosso caso temos esse valor sendo multiplicado por 4, então podemos dizer que:

$4. |x - 1| < 4 \delta$

Em contrapartida, temos que delta é igual a $\delta = \frac{\epsilon}{4}$, substituindo:

$4. |x - 1| < 4. \frac{ \epsilon}{4} = \boxed{4. |x - 1| < \epsilon }$

Portanto podemos responder que de fato:

$|(4x + 3) - 7| < \epsilon$

E confirmar que $\lim_{x \to 1}4x + 3 = 7$

Espero ter ajudado