Question

Alguem ajuda a responder por favor,
Encontre os pontos críticos e classifique-os (máximo, mínimo e ponto de inflexão).
y = 40 – 6x + x2
c) y = x5 + 5x3 + 5

Answer 1

Após a realização dos cálculos, podemos concluir que

a) o ponto crítico da função y=40-6x+x² é  x=3 e o ponto de mínimo é  (3,31)

e não possui ponto de inflexão.

b) o ponto crítico da função y=x⁵+5x³+5 é x=0 e o ponto de inflexão é ( 0,5)

Aplicação da derivada

Vamos usar os métodos do cálculo diferencial para analisar as funções e seus gráficos, identificando intervalos em que o gráfico da função seja crescente ou decrescente, identificando onde ocorrem seus pontos mais altos e mais baixos, de que forma os gráficos se inclinam e qual o comportamento- limite em pontos específicos

Teste da derivada primeira

Suponha f contínua em um ponto crítico x₀ .

(a) Se f'(x)>0 em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de x₀ e

f'(x)<0 em um intervalo aberto ampliando-se a direita de x₀ , então f tem um máximo relativo em x₀

(b) Se f'( x)<0 em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de x₀ e f'(x)>0 em um intervalo aberto ampliando-se a direita de x₀, então f tem um mínimo relativo em x₀

(c) Se f'(x) tiver o mesmo sinal em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de x₀ e, em um intervalo aberto ampliando-se a direita de x₀ , então f não tem extremos relativos em x₀.

Teste da derivada segunda

Suponha que f seja duas vezes diferenciável em um ponto crítico x₀.

(a) Se f ''(x₀) >0 , então f tem em x₀ um mínimo relativo.

(b) Se f ''(x₀) <0, então f tem em x₀ um máximo relativo.

(c) Se f ''(x₀) =0, então o teste é inconclusivo.

Vamos a resolução do exercício

a)

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf y=f(x)=40-6x+x^2\\\sf f'(x)=-6+2x\\\sf f'(x)=0\\\sf -6+2x=0\\\sf 2x=6\\\\\sf x=\dfrac{6}{2}\\\\\sf x=3\\\sf f'(x)>0\implies x>3\\\sf f'(x)<0\implies x<3\\\sf f(3)=40-6\cdot3+3^2\\\sf f(3)=31\\\sf f''(x)=2\\\sf f''(3)=2>0\implies m\acute inimo\,relativo \end{array}}$

b)

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf y=f(x)=x^5+5x^3+5\\\sf f'(x)=5x^4+15x^2\\\sf f'(x)=0\\\sf 5x^4+15x^2=0\\\sf 5x^2(x^2+3)=0\\\sf 5x^2=0\\\sf x=0\\\sf f''(x)=20x^3+30x\\\sf 20x^3+30x=0\\\sf 10x(2x^2+3)=0\\\sf  f(0) =0^5+5\cdot0^3+5=5\end{array}}$

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