Matemática, perguntado por ToniMontana, 1 ano atrás

Algebricamente, qual o valor do limite de \frac{\sqrt{x+4}-2 \ }{x} quando x tende a 0?

Soluções para a tarefa

Respondido por adjemir
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Vamos lá.

Pede-se o limite de:

lim [√(x+4) - 2]/x
x-->0

Veja, Toni, que se formos substituir o "x" diretamente por "0" vamos encontrar alguma coisa sobre "0" e não existe isto.
Então vamos fazer o seguinte: encontraremos a derivada do numerador e a do denominador, de forma autônoma, para acabar com a impossibilidade.
Então vamos fazer isto: veja que derivando, teremos isto:

- derivada do numerador ---> 1/2√(x+4)
- derivada do denominador ---> 1

Agora vamos substituir na expressão original, ficando assim:

lim [1/2√(x+4)]/1 --- ou, o que é a mesma coisa:
x-->0

lim [1/2√(x+4)]
x-->0

Agora note que já poderemos fazer a substituição de "x" por "zero", com o que ficaremos:

[1/2√(x+4) = 1/2√(0+4) = 1/2√(4) = 1/2*2 = 1/4 <--- Pronto. Esta é a resposta. Ou seja, temos que:

lim [√(x+4) - 2]/x = 1/4 <--- Esta é a resposta.
x-->0

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

ToniMontana: Muito obrigado, amigão. Tinha que derivar. Achei que desse pra fazer usando aquela propriedade (a+b).(a-b) = a²-b²
adjemir: Veja,Toni, que as saídas para você eliminar uma "impossibilidade" (que é a divisão por zero, por exemplo) poderão ser várias. Uma delas é a derivação, separadamente,do numerador e do denominador. Sempre que me vejo diante de uma impossibilidade como esta, eu uso a derivada do numerador e do denominador por achar muito mais fácil. OK? Adjemir.
ToniMontana: Realmente é mais fácil. Mas todo caso que há uma "impossibilidade" é possível derivar?
adjemir: Sim, desde que reste alguma incógnita no numerador ou mesmo no denominador e que, ao substituí-la pelo número a que tende "x", concluirmos que a "impossibilidade" já não exista mais. OK? Adjemir.
ToniMontana: Perfeito. Muito obrigado!
adjemir: Disponha, Toni, e sucesso nos estudos. Aproveitando a oportunidade, agradeço-lhe por haver eleito a minha resposta como a melhor. Um abraço. Adjemir.
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