Question

(Algebra) Sejam A a base canonica de R3 e B = {(1, 2, 1),(2, 5, 0),(3, 3, 8)}. Encontre a matrizes de mudança de base P A→B e P B→A.

Answer 1

As matrizes de mudança de base são:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left[M\right]_{B\to A} = \left[\begin{array}{c c c}1 & 2 & 1 \\2 & 5 & 0\\3 & 3 & 8\end{array}\right] \quad \left[M\right]_{A\to B} = \left[\begin{array}{c c c}-40 & 13 & 5 \\16 & -5 & -2\\9 & -3 & -1\end{array}\right]\end{gathered}$

Para obter a matriz de mudança de base, temos que escrever os vetores de uma base em função dos vetores da outra, ou seja, para achar a matriz de mudança de base de A para B, temos que escrever os vetores da base A como combinação linear dos vetores da base B, lembrando que a matriz de mudança de base de B para A é a inversa dessa matriz, logo, se temos as seguinte bases:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}A = \{(1, \ 0, \ 0), (0, \ 1, \ 0), (0, \ 0, \ 1) \} \\\\B = \{(1, \ 2, \ 1), (2, \ 5, \ 0), (3, \ 3, \ 8) \} \end{gathered}$

Para achar a matriz de mudança de base de B para A, temos que resolver o sistema:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered}(1, \ 2, \ 1) = \alpha_1(1, \ 0, \ 0)+\alpha_2(0, \ 1, \ 0)+\alpha_3(0, \ 0, \ 1)\\ \\(2, \ 5, \ 0) = \beta_1(1, \ 0, \ 0)+\beta_2(0, \ 1, \ 0)+\beta_3(0, \ 0, \ 1)\\ \\(3, \ 3, \ 8) = \gamma_1(1, \ 0, \ 0)+\gamma_2(0, \ 1, \ 0)+\gamma_3(0, \ 0, \ 1)\\ \\\end{gathered}$

Na primeira linha temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}\alpha_1 = 1\\ \\\alpha_2 = 2\\ \\\alpha_3 = 1\end{cases}\end{gathered}$

Não é dificil ver que para a segunda linha teremos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}\beta_1 = 2\\ \\\beta_2 = 5\\ \\\beta_3 = 0\end{cases}\end{gathered}$

E para última linha temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}\gamma_1 = 3\\ \\\gamma_2 = 3\\ \\\gamma_3 = 8\end{cases}\end{gathered}$

Logo a matriz de mudança de base, de B para A é:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left[M\right]_{B\to A} = \left[\begin{array}{c c c}1 & 2 & 1 \\2 & 5 & 0\\3 & 3 & 8\end{array}\right]\end{gathered}$

Veja que só colocamos os vetores da base B nas linhas da matriz, ou seja, sempre que uma das matrizes for a canônica, a matriz de mudança de base dessa base para a canônica, será os vetores dessa base nas linhas.

Sendo assim, sabemos que:

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left[M\right]_{A\to B} = \left[M\right]_{B\to A}^{-1} \end{gathered}$

Basta inverter essa matriz para achar a mudança de base da canônica para essa base, há várias maneira de achar a matriz inversa, use o de sua preferência, Gauss-Jordan ou adjunta são os mais famosos.

Invertendo a matriz acima temos:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left[M\right]_{A\to B} = \left[\begin{array}{c c c}-40 & 13 & 5 \\16 & -5 & -2\\9 & -3 & -1\end{array}\right]\end{gathered}$

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários.

Obs: você poderia ter escrito os vetores da canônica como combinação linear de B, o resultado obtido seria a matriz de A para B.

                         

Veja mais sobre em:

brainly.com.br/tarefa/14631255

Ilustração das bases em anexo, preto sendo a canônica e em vermelho a base B.