Question

(Álgebra: Relações binárias – relações de equivalência)

Seja R ⊆ ℤ* × ℤ* uma relação binária sobre os inteiros não-nulos.

Dizemos que R é uma relação de equivalência se e somente e as três condições abaixo são satisfeitas simultaneamente:

     ①   R é reflexiva.
     ②   R é simétrica.
     ③   R é transitiva.

Considere a relação

     $R=\{(a,\,b)\in\mathbb{Z}^*\times\mathbb{Z}^*:~|a\cdot b^{-1}|=2^k,~\mathrm{para~algum~}k\in\mathbb{Z}\}.$

Mostre que R é uma relação de equivalência.​

Answer 1

1. Evidentemente é reflexiva, já que $\frac{a}{a} = 1 = 2^0$.

2. Primeiramente, só por garantia, desejo me liberar dos transtornos de tratar com inteiros. Então, em vez de $|a \cdot b^{-1}|$ com $a, b \in \mathbb{Z}$, podemos tratar a relação como $a \cdot b ^{-1}$, com $a, b \in \mathbb{N}$.

Se:

$\cfrac{a}{b} = 2^k \\\\a = b \cdot 2^k$

Então:

$\cfrac{b}{a} = \cfrac{b}{b \cdot 2^k} = \cfrac{1}{2^k} = 2^{-k}$

Como $k \in \mathbb{Z}$, então R é simétrica.

3. Escolhamos dois pares de modo que:
$(a,b) \in R \\\cfrac{a}{b} = 2^k\\\\a = b \cdot 2^k\\\\\\(b,c) \in R\\\cfrac{b}{c} = 2^{k'}\\\\c = \cfrac{b}{2^{k'}}$

Queremos provar que $(a,c) \in R$:
$\cfrac{a}{c} = \cfrac{b \cdot 2^k}{\cfrac{b}{2^{k'}}} = \cfrac{b \cdot 2^k}{1} \cdot \cfrac{2^{k'}}{b} = 2^{k + k'}$

Portanto R é uma relação transitiva, e também de equivalência.