Question

Álgebra Linear

Verifique se as transformações abaixo são transformações lineares:

a) T: R²→R² | T(x,y) = (x+y,3y)

b) T: R³ → R² | T(x,y,z) = (x+y,x+1)

c) T: M₂ (R) → R | T $\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]$ = a+b+c+d

Answer 1

Caso esteja pelo app, e tenha problemas para visualizar esta resposta, experimente abrir pelo navegador:  https://brainly.com.br/tarefa/9231208

——————————

Considere dois espaços vetoriais  V  e  W.  A aplicação  $\mathsf{T:~V\to W}$  é uma transformação linear somente se

para todo  $\mathsf{\alpha,\,\beta \in\mathbb{R}},$  e para todo  $\mathsf{v_1,\,v_2 \in V,}$  verifica-se que

     $\mathsf{T(\alpha\cdot v_1+\beta\cdot v_2)=\alpha\cdot T(v_1)+\beta\cdot T(v_2).}$

—————

$\begin{array}{ccccc} \mathsf{a)}&\mathsf{T:}&\mathbb{R}^2&\to&\mathbb{R}^2\\ &&\mathsf{(x,\,y)}&\mapsto&\mathsf{(x+y,\,3y)} \end{array}$

Considere  $\mathsf{\alpha,\,\beta \in \mathbb{R}}$  e  $\mathsf{v_1,\,v_2 \in \mathbb{R}^2},$  com

     $\mathsf{v_1=(x_1,\,y_1)}$  e  $\mathsf{v_2=(x_2,\,y_2).}$


Temos que

     $\mathsf{T(\alpha\cdot v_1+\beta \cdot v_2)}\\\\ =\mathsf{T\big(\alpha\cdot (x_1,\,y_1)+\beta \cdot (x_2,\,y_2)\big)}\\\\ =\mathsf{T\big((\alpha x_1,\,\alpha y_1)+(\beta x_2,\,\beta y_2)\big)}\\\\ =\mathsf{T(\alpha x_1+\beta x_2,\,\alpha y_1+\beta y_2)}\\\\ =\mathsf{\big((\alpha x_1+\beta x_2)+(\alpha y_1+\beta y_2),\,3(\alpha y_1+\beta y_2)\big)}\\\\ =\mathsf{\big(\alpha x_1+\alpha y_1+\beta x_2+\beta y_2,\,3(\alpha y_1+\beta y_2)\big)}\\\\ =\mathsf{\big(\alpha (x_1+y_1)+\beta (x_2+y_2),\,3\alpha y_1+3\beta y_2\big)}$

     $=\mathsf{\big(\alpha (x_1+y_1),\,3\alpha y_1\big)+\big(\beta (x_2+y_2),\,3\beta y_2\big)}\\\\ =\mathsf{\alpha\cdot (x_1+y_1,\,3y_1)+\beta\cdot (x_2+y_2,\,3 y_2)}\\\\ =\mathsf{\alpha\cdot T(x_1,\,y_1)+\beta\cdot T(x_2,\,y_2)}\\\\ =\mathsf{\alpha\cdot T(v_1)+\beta\cdot T(v_2)}$


Logo,  T  é uma transformação linear.

—————

$\begin{array}{ccccc} \mathsf{b)}&\mathsf{T:}&\mathbb{R}^3&\to&\mathbb{R}^2\\ &&\mathsf{(x,\,y,\,z)}&\mapsto&\mathsf{(x+y,\,x+1)} \end{array}$


É fácil mostrar que  T  não é uma transformação linear. Computemos o caso particular em que

     •   $\mathsf{\alpha=\beta=1;}$

     •   $\mathsf{v_1=(1,\,0,\,0),~~v_2=(0,\,0,\,1)}.$


Calculando,

     $\mathsf{T(\alpha\cdot v_1+\beta \cdot v_2)}\\\\ =\mathsf{T(1\cdot v_1+1 \cdot v_2)}\\\\ =\mathsf{T(v_1+v_2)}\\\\ =\mathsf{T\big((1,\,0,\,0)+(0,\,0,\,1)\big)}\\\\ =\mathsf{T(1,\,0,\,1)}\\\\ =\mathsf{(1+0,\,1+1)}\\\\ =\mathsf{(1,\,2)}$


enquanto que
 
     $\mathsf{\alpha\cdot T(v_1)+\beta \cdot T(v_2)}\\\\ =\mathsf{1\cdot T(v_1)+1 \cdot T(v_2)}\\\\ =\mathsf{T(v_1)+T(v_2)}\\\\ =\mathsf{T(1,\,0,\,0)+T(0,\,0,\,1)}\\\\ =\mathsf{(1+0,\,1+1)+(0+0,\,0+1)}\\\\ =\mathsf{(1,\,2)+(0,\,1)}\\\\ =\mathsf{(1+0,\,2+1)}\\\\ =\mathsf{(1,\,3)}$


Como  $\mathsf{(1,\,2)\ne (1,\,3)}\quad\Rightarrow\quad\mathsf{T(v_1+v_2)\ne T(v_1)+T(v_2)},$  então  T  não é uma transformação linear.

—————

$\begin{array}{ccccc} \mathsf{c)}&\mathsf{T:}&\mathsf{M_2(\mathbb{R})}&\to&\mathbb{R}\\\\&&\begin{bmatrix} \mathsf{a}&\mathsf{b}\\ \mathsf{c}&\mathsf{d} \end{bmatrix}&\mapsto&\mathsf{a+b+c+d} \end{array}$


Considere  $\mathsf{\alpha,\,\beta \in \mathbb{R}}$  e  $\mathsf{v_1,\,v_2 \in M_2(\mathbb{R})},$  com

     $\mathsf{v_1}=\begin{bmatrix} \mathsf{a_1}&\mathsf{b_1}\\ \mathsf{c_1}&\mathsf{d_1} \end{bmatrix}$  e  $\mathsf{v_2}=\begin{bmatrix} \mathsf{a_2}&\mathsf{b_2}\\ \mathsf{c_2}&\mathsf{d_2} \end{bmatrix}.$


Temos que

     $\mathsf{T(\alpha \cdot v_1+\beta\cdot v_2)}\\\\ =\mathsf{T\!\left(\alpha \cdot \begin{bmatrix} \mathsf{a_1}&\mathsf{b_1}\\ \mathsf{c_1}&\mathsf{d_1}\end{bmatrix}+\beta\cdot \begin{bmatrix} \mathsf{a_2}&\mathsf{b_2}\\ \mathsf{c_2}&\mathsf{d_2}\end{bmatrix}\right)}\\\\\\ =\mathsf{T\!\left(\begin{bmatrix} \mathsf{\alpha a_1}&\mathsf{\alpha b_1}\\ \mathsf{\alpha c_1}&\mathsf{\alpha d_1}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \mathsf{\beta a_2}&\mathsf{\beta b_2}\\ \mathsf{\beta c_2}&\mathsf{\beta d_2}\end{bmatrix}\right)}\\\\\\ =\mathsf{T\!\left(\begin{bmatrix} \mathsf{\alpha a_1+\beta a_2}~&~\mathsf{\alpha b_1+\beta b_2}\\ \mathsf{\alpha c_1+\beta c_2}~&~\mathsf{\alpha d_1+\beta d_2}\end{bmatrix}\right)}$

     $=\mathsf{(\alpha a_1+\beta a_2)+(\alpha b_1+\beta b_2)+(\alpha c_1+\beta c_2)+(\alpha d_1+\beta d_2)}\\\\ =\mathsf{\alpha a_1+\alpha b_1+\alpha c_1+\alpha d_1+\beta a_2+\beta b_2+\beta c_2+\beta d_2}\\\\ =\mathsf{\alpha(a_1+b_1+c_1+d_1)+\beta(a_2+b_2+c_2+d_2)}\\\\ =\mathsf{\alpha\cdot T\!\left(\begin{bmatrix} \mathsf{a_1}&\mathsf{b_1}\\ \mathsf{c_1}&\mathsf{d_1}\end{bmatrix}\right)+\beta \cdot T\!\left(\begin{bmatrix} \mathsf{a_2}&\mathsf{b_2}\\\mathsf{c_2}&\mathsf{d_2}\end{bmatrix}\right)}\\\\\\ =\mathsf{\alpha\cdot T(v_1)+\beta\cdot T(v_2)}$     


Logo,  T  é uma transformação linear.


Bons estudos! :-)