Question

(ÁLGEBRA LINEAR) Verifique que o conjunto:

S1 = $\left[\begin{array}{c}-2&&\\1&&\\-1&&\end{array}\right]$

S2 = $\left[\begin{array}{c}1&&\\-1&&\\-3&&\end{array}\right]$

S3 = $\left[\begin{array}{c}4&&\\7&&\\-1&&\end{array}\right]$

forma uma base ortogonal para R³ e escreva B = $\left[\begin{array}{c}3&&\\-1&&\\5&&\end{array}\right]$ como combinação linear de S1, S2, S3.

Answer 1

Olá, Nise!

Para três vetores formarem uma base, seu produto vetorial precisa ser não-nulo. Para ser uma base ortogonal, basta que o produto interno dois a dois deles seja nulo.

S1 · S2 = (-2)(1) + (1)(-1) + (-1)(-3) = -2 -1 +3 = 0

S1 · S3 =  (-2)(4) + (1)(7) + (-1)(-1) = -8 + 7  + 1 = 0

S2 · S3 = (1)(4) + (-1)(7) + (-3)(-1) = 4 – 7 + 3 = 0

 

Como todos os produtos internos são nulos, temos que os três vetores são todos perpendiculares entre si. Logo, para o R³ eles formam uma base e, além disso, a base é ortogonal. Posto isso, qualquer ponto pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores. Para B = (3, -1, 5), segue que:

 

(3, -1, 5) = p(-2, 1, -1) + q(1, -1, -3) + r(4, 7, -1)

 

(3, -1, 5) = (-2p, p, -p) + (q, -q, -3q) + (4r, 7r, -r)

 

(3, -1, 5) = (-2p + q + 4r,  p – q + 7r,  -p – 3q – r )

 

Isso é um sistema linear de três equações, com método de solução trivial(embora não seja rápido).

 

-2p + q + 4r = 3

p – q + 7r = -1

-p -3q – r = 5

 

Trocamos a segunda equação com a primeira:

p – q + 7r = -1

-2p + q + 4r = 3

-p -3q – r = 5

 

Multiplicamos a primeira por 2 e somamos à segunda, somamos à primeira à terceira:

p – q + 7r = -1

-q + 18r =  1

-4q  + 6r = 4 → -2q + 3r = 2

 

Multiplicamos a segunda por -2 e somamos à terceira:

 

-33r = 0 → r = 0

 

-2q + 3r = 2

-2q  + 0 = 2 → q = - 1

 

p – q + 7r = -1

p + 1 + 0 = -1 → p = -2

 

Logo:

 

(3, -1, 5) = -2 (-2, 1, -1) –  (1, -1, -3) + 0(4, 7, -1)

 

(3, -1, 5) = -2(-2, 1, -1) – (1, -1, -3)

 

Os coeficientes para a C.L. são -2, -1 e 0 para os vetores S1, S2 e S3, respectivamente.

 

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