Question

ÁLGEBRA LINEAR---------------------URGENTE

1. Considere o espaço vetorial R3 com as definições usuais de soma e multiplicação por escalar.

(a) Mostre que se V é um subespaço vetorial de R3, de dimensão 2, então V é um plano. Encontre um vetor normal pra esse plano e sua equação cartesiana.

(b) Mostre que se V é um subespaço vetorial de R3, de dimensão 1, então V é uma reta.

Encontre um vetor diretor pra essa reta e uma de suas equações paramétricas;

Answer 1

Podemos facilmente provar estes fatos utilizando definição de combinação linear e equações de planos e retas.  

(a) Mostre que se V é um subespaço vetorial de R3, de dimensão 2, então V é um plano. Encontre um vetor normal pra esse plano e sua equação cartesiana.

Vamos upor dois vetores linearmente independentes de R3:  

$A=\left[\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right]$  

$B=\left[\begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array}\right]$  

Para criarmos um subespaço de 2 dimensões, basta fazermos a combinação deste dosi vetores arbitrarios, pois tendo 2 vetores de base, teremos 2 dimensões:  

$V=span\{A;B\}$  

$V=x.\left[\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right]+y.\left[\begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array}\right]$  

Onde x e y são os parametros da combinação linear.

Agora vamos pegar somente a primeira componente de V, e analisar o seu formato:  

$V_1=x.a_1+y.b_1$  

Note que tanto esta quanto as outras componentes são uma equação de plano, pois a equação do plano tem forma geral dada por:  

$z=ax+by+c$  

E este é o exato formato da nossa equação para as componentes de V.

O vetor normal a este plano seria ortogonal a ambos A e B, logo deveria ser um produto vetorial de A com B:  

$n=A\times B$  

(b) Mostre que se V é um subespaço vetorial de R3, de dimensão 1, então V é uma reta.

Da mesma forma se fizermos uma combinação linear de somente A, teremos o subespaço de 1 dimensão:  

$V=x.\left[\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right]$  

E novamente pegando somente o componente primeiro:  

$V_1=x.a_1$  

Temos uma equação de reta, cujo formato geral é:  

$y=ax+b$