Question

(ÁLGEBRA LINEAR)

Seja $T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ uma transformação linear dada por:

$T(x,y,z) = (x+3y-4z,y,2y-3z)$

a) Calcular os autovalores de T
b) Calcular os autovetores de T
c) T é diagonalizável? Justificar. Em caso afirmativo, encontre uma base na qual a matriz de T é uma matriz diagonal D. E exiba D

Answer 1

Resposta:

a) Os autovalores de $T$ são $\lambda_1=1$ e $\lambda_2=-3.$

b) Os autovetores de $T$ são

• $v_1=(1,\,0,\,0)$ é o único autovetor associado ao autovalor $\lambda_1=1.$

• $v_2=(1,\,0,\,1)$ é o autovetor associado ao autovalor $\lambda_2=-3.$

c) O operador linear $T$ não é diagonalizável, pois o subespaço gerado pelos autovetores $v_1=(1,\,0,\,0)$ e $v_2=(1,\,0,\,1)$ não é uma base para o $\mathbb{R}^3.$

Explicação passo a passo:

Escrevendo a transformação em forma de matriz:

     $T\begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x+3y-4z\\ y\\ 2y-3z \end{bmatrix}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \begin{bmatrix}1&3&-4\\ 0&1&0\\ 0&2&-3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x+3y-4z\\y\\2y-3z \end{bmatrix}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad T=\begin{bmatrix}1&3&-4\\ 0&1&0\\0&2&-3\end{bmatrix}$

a) Para calcular os autovalores de $T,$ devemos resolver a equação abaixo para a variável $\lambda:$

     $T(x,\,y,\,z)=\lambda\cdot (x,\,y,\,z)\\\\ \Longleftrightarrow\quad T(x,\,y,\,z)-\lambda\cdot (x,\,y,\,z)=(0,\,0,\,0)\\\\ \Longleftrightarrow\quad (T-\lambda I)(x,\,y,\,z)=(0,\,0,\,0)\\\\ \Longleftrightarrow\quad \begin{bmatrix}1-\lambda&3&-4\\ 0&1-\lambda&0\\ 0&2&-3-\lambda\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}\qquad\mathrm{(i)}$

O sistema acima só terá solução não-trivial se

     $\Longleftrightarrow\quad \det(T-\lambda I)=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad \det\begin{bmatrix}1-\lambda&3&-4\\ 0&1-\lambda&0\\ 0&2&-3-\lambda\end{bmatrix}=0\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad (1-\lambda)^2\cdot (-3-\lambda)=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad (1-\lambda)^2=0\quad\mathrm{ou}\quad -3-\lambda=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad \lambda_1=1\quad\mathrm{e}\quad\lambda_2=-3$

Os autovalores de $T$ são $\lambda_1=1$ e $\lambda_2=-3.$

b)

• Substituindo $\lambda=1$ em (i), temos

     $\Longrightarrow\quad \begin{bmatrix}1-1&3&-4\\ 0&1-1&0\\ 0&2&-3-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \begin{bmatrix} 0&3&-4\\ 0&0&0\\ 0&2&-4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}3y-4z=0\\ 2y-4z=0 \end{array}\right.$

Resolvendo o sistema, encontramos

     $\Longleftrightarrow\quad y=z=0\quad\mathrm{e}\quad x\in\mathbb{R}\\\\ \Longleftrightarrow\quad (x,\,y,\,z)=(x,\,0,\,0)\\\\ \Longleftrightarrow\quad (x,\,y,\,z)=x\cdot (1,\,0,\,0),\qquad \mathrm{com~}x\in\mathbb{R}.$

Logo, $v_1=(1,\,0,\,0)$ é o único autovetor associado ao autovalor $\lambda_1=1.$

• Substituindo $\lambda=-3$ em (i), temos

     $\Longrightarrow\quad \begin{bmatrix}1-(-3)&3&-4\\ 0&1-(-3)&0\\ 0&2&-3-(-3)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \begin{bmatrix} 4&3&-4\\ 0&4&0\\ 0&2&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}4x+3y-4z=0\\ 4y=0\\ 2y=0 \end{array}\right.$

Resolvendo o sistema, encontramos

     $\Longleftrightarrow\quad y=0\quad\mathrm{e}\quad z=x\in\mathbb{R}\\\\ \Longleftrightarrow\quad (x,\,y,\,z)=(x,\,0,\,x)\\\\ \Longleftrightarrow\quad (x,\,y,\,z)=x\cdot (1,\,0,\,1),\qquad\mathrm{com~} x\in\mathbb{R}.$

Logo, $v_2=(1,\,0,\,1)$ é o autovetor associado ao autovalor $\lambda_2=-3.$

c) O operador linear $T$ não é diagonalizável, pois o subespaço gerado pelos autovetores $v_1=(1,\,0,\,0)$ e $v_2=(1,\,0,\,1)$ não é uma base para o $\mathbb{R} ^3,$ já que

     $\dim([v_1,\,v_2])=2<3=\dim(\mathbb{R}^3).$

Perceba que isso também é consequência do fato de $\lambda_1=1$ ter multiplicidade algébrica igual a 2 (dois), porém tem apenas um autovetor associado a ele.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)