Question

Álgebra Linear: Resolver o exercício que está escrito: “Mostre que = a^2 (u,u) + 2ab (u,v)+b^2 (v,v)”

Answer 1

Atendendo ao produto interno definido no slide anterior, temos:

$\displaystyle\langle u,v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i v_i.$

Aplicando a definição, temos:

$\displaystyle\langle au+bv,au+bv \rangle = \sum_{i=1}^n (au_i+bv_i)(au_i+bv_i) = \sum_{i=1}^n (au_i+bv_i)^2.$

Usamos agora o caso notável do quadrado do binómio:

$\displaystyle\sum_{i=1}^n (au_i+bv_i)^2 = \sum_{i=1}^n \left[(au_i)^2 + 2(au_i)(bv_i) + (bv_i)^2\right] = \sum_{i=1}^n \left(a^2u_i^2 + 2abu_iv_i + b^2v_i^2\right).$

Aplicamos agora a linearidade e homogeneidade do somatório:

$\displaystyle\sum_{i=1}^n \left( a^2\underbrace{u_i^2}_{=u_iu_i} + 2abu_iv_i + b^2\underbrace{v_i^2}_{=v_iv_i}\right) = a^2\underbrace{\sum_{i=1}^n u_iu_i}_{=\langle u, u \rangle} + 2ab\underbrace{\sum_{i=1}^n u_iv_i}_{=\langle u, v \rangle}+b^2 \underbrace{\sum_{i=1}^nv_iv_i}_{=\langle v,v \rangle}.$

Obtemos por fim:

$\displaystyle\langle au+bv,au+bv \rangle = a^2\langle u,u \rangle + 2ab \langle u,v \rangle + b^2\langle v,v \rangle,$

como pretendido.