Question

(Algebra Linear) Quais dos conjuntos de vetores são bases de P2?

a. {1 − 3x + 2x², 1 + x + 4x², 1 − 7x}

b. {4 + 6x + x², −1 + 4x + 2x², 5 + 2x − x²}

c. {1 + x + x², x + x², x²}

Answer 1

Resposta:

$B = \{1+x+x^2,\;x+x^2,\; x^2\}\\\\B = \{(1,\, 1,\, 1), (0,\, 1,\, 1), (0, \, 0, \, 1)\}$

Explicação passo-a-passo:

Para que um conjunto seja base, temos que garantir que os vetores são necessariamente linearmente independentes, então para responder essa questão vamos ver qual conjunto de vetores são L.I, uma coisa que podemos dizer logo é que, a quantidade de elementos da base, corresponde a dimensão do espaço vetorial, logo só podemos ter 3 elementos na base já que estamos falando de $P_2$.

Dito isso, o jeito mais simples de fazer essa questão é escrever esses vetores na base canônica e então fazer o determinante, qual é a base canônica de P₂?

                                              $B = \{1, \,x,\, x^2\}$

Então vamos escrever eles na base canônica e então, fazer o determinante:

A)

No primeiro conjunto temos:

$1 - 3x + 2x^2 \longrightarrow (1, -3,\, 2)\\\\1 + x + 4x^2 \longrightarrow (1,\, 1,\, 4)\\\\1 - 7x \longrightarrow (1,\, -7,\, 0)$

Agora transformamos nosso problema de $P_2$ em $\mathbb{R}^3$

$B = \{(1, -3,\, 2), (1,\, 1,\, 4), (1,\, -7,\, 0)\}$

Esse conjunto é base de $\mathbb{R}^3?$

Para isso basta fazer:

$\det\left|\begin{matrix}1 & -3 & 2 \\1 & 1 & 4 \\1 & -7 & 0\end{matrix}\right|$

Chegamos em:

$\det \left|\begin{matrix}1 & -3 & 2 \\1 & 1 & 4 \\1 & -7 & 0\end{matrix}\right| = 0$

Portanto, não é base

B)

Seguindo o mesmo raciocinio vamos fazer para o item b, temos então:

$4 + 6x + x^2 \longrightarrow (4,\, 6,\, 1)\\\\-1 + 4x + 2x^2 \longrightarrow (-1,\, 4,\, 2)\\\\5 + 2x - x^2 \longrightarrow (5,\, 2,\, -1)$

Então a base fica:

$B = \{(4,\, 6,\, 1), (-1,\, 4,\, 2), (5,\, 2,\, -1)\}$

E verificando o determinante temos:

$\det \left|\begin{matrix}4 & 6 & 1 \\-1 & 4 & 2 \\5 & 2 & -1\end{matrix}\right| = 0$

Logo, não é base novamente

O que por eliminação nos leva ao ultimo conjunto como base, mas vamos verificar se ele é mesmo.

C)

Novamente, escreve na canônica:

$1+x+x^2 \longrightarrow (1,\, 1,\, 1)\\\\x+x^2 \longrightarrow (0,\, 1,\, 1)\\\\x^2 \longrightarrow (0,\, 0,\, 1)$

Pelo determinante:

$\det \left|\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1\end{matrix}\right| = 1$

Portanto ele é base de $P_2$

Espero ter ajudado,

Qualquer dúvida respondo nos comentários!