Question

ÁLGEBRA LINEAR, POR FAVOR PRECISO DE AJUDA...Nos problemas abaixo apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.

R², (x,y) + (x',y') = (x + x', y + y') e α(x,y) = (α² x, α² y)

Answer 1

(x,y)+(x',y') = (x+x',y+y') e α(x,y) = (α²x,α²y)

Propriedades da soma em IR²
I. u=(x,y) v=(x',y')  u+v=v+u
u+v = (x+x',y+y')
v+u = (x+x',y+y')  

II.u=(x,y) v=(x',y') w=(x'',y'')      (u+v)+w=u+(v+w)
(u+v)+w = (x+x',y+y') + (x'',y'') = (x+x'+x'',y+y'+y'')
u+(v+w) = (x,y)+(x'+x'',y'+y'') = (x+x'+x'',y+y'+y'')

III.u=(x,y)  e=(e1,e2)   u+e=u 
u+e=(x,y)+(e1,e2)=(x,y)
x+e1=x ⇒ e1=0
y+e2=y ⇒ e2=0 
Logo, e=(0,0) e u+e=u

IV. u=(x,y) op=(a,b) u+op=e
u+op=(x,y)+(a,b)=(0,0)
x+a=0 ⇒ a=-x
y+b=0 ⇒ b=-y
Logo, op=(-x,-y)

Propriedades da Multiplicação em IR²

I. α e β ∈ IR e u=(x,y) α(βu)=(αβ)u
α(β(x,y)) = α(β²x,β²y) = (α²β²x,α²β²y)
(αβ)(x,y) = (α²β²x,α²β²y) 

II. α e β ∈ IR u=(x,y) e (α+β)u=αu+βu
(α+β)u=(α+β)(x,y) = ((α+β)²x,(α+β)²y)
αu+βu=α(x,y)+β(x,y)=(α²x,α²y)+(β²x,β²y) = ((α²+b²)x,(α²+β²)y)

Não é espaço vetorial (α+β)u ≠ αu+βu

Answer 2

O conjunto munido pelas operações (x,y) + (x',y') = (x + x', y + y') e α(x,y) = (α²x,α²y) não é um espaço vetorial.

Para um conjunto munido das operações de adição e multiplicação ser um espaço vetorial, o mesmo deve satisfazer oito condições:

1. u + v = v + u → comutatividade
2. u + (v + w) = (u + v) + w → associatividade
3. u + e = u → existência do elemento neutro
4. v + (-v) = e → existência do inverso aditivo
5. α(βv) = (αβ)v → associatividade
6. (α + β)v = αv + βv → distributividade
7. α(u + v) = αu + αv → distributividade
8. 1.v = v → multiplicação por 1.

O conjunto munido pelas (x,y) + (x',y') = (x + x', y + y') e α(x,y) = (α²x,α²y) não é um espaço vetorial porque falha na distributividade.

Vamos dar um contra exemplo.

Considere que α = β = 2 e v = (-1,0).

Temos que:

(α + β).v = (2 + 2).(-1,0) = 4.(-1,0) = (4².(-1), 4².0) = (-16,0).

αv + βv = 2(-1,0) + 2(-1,0) = (2².(-1), 2².0) + (2².(-1), 2².0) = (-4,0) + (-4,0) = (-8,0).

Como os valores deram diferentes, então a distributividade não é satisfeita.

Portanto, não é um espaço vetorial.

Para mais informações sobre espaço vetorial: https://brainly.com.br/tarefa/19803517