Question

(Álgebra Linear) Indique se a afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.
- A soma de duas matrizes inversíveis é uma matriz inversível.

Answer 1

Boa noite, Niselinz!

Vou usar a demonstração por contraexemplo. Veja que a afirmação é bem geral. Então, se encontrarmos um caso em que isso não é válido, teremos feito a demostração.

Sabemos que uma matriz só admitirá inversa se seu determinante não for nulo.

Sabemos também que se uma matriz possui duas linhas ou colunas idênticas, seu determinante será nulo.

Então vamos montar duas matrizes 2x2, por simplicidade com determinante  não nulo e que a soma delas resulte em linhas ou colunas iguais. Veja que já estamos tendendo para o lado maquiavélico. 

Sejam as matrizes:

$A = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] , ad-bc\neq0\\ \\ \\ B = \left[\begin{array}{ccc}b&a\\d&c\end{array}\right], \ bc-ad = -(ad-bc)\neq0$

Agora as somamos:

$A+B =\left[\begin{array}{ccc}a+b&b+a\\c+d&d+c\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}a+b&a+b\\c+d&c+d\end{array}\right] \\ \\ \det(A+B) = (a+b)(c+d) - (a+b)(c+d)\\ \\ \det(A + B) = 0$

A nova matriz tem um determinante nulo, e portanto, não admite inversa. Portanto, a afirmativa é falsa.

Veja que apenas trocamos a ordem de uma coluna de uma mesma matriz e formamos uma nova matriz. As duas são invertíveis, mas a soma não o é. Isso poderia ser um contra argumento para qualquer matriz $A\in\mathscr{M}_{m\times n}$ .

Espero que tenha entendido =)