Question

(Álgebra Linear) Encontre uma base para:

$W = \left \{ \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right] \in M_{2x2} (\mathbb{R}); a + 2b - c = 0 \: e \: a + b + c - 2d = 0 \right \} .$

Answer 1

Olá, Niselinz!

Veja, da equação $a+2b-c=0$  podemos concluir que:

$c=a+2b$


Da equação $a+b+c-2d=0$ concluímos que

$2d = a+b+c$

Se substituirmos o valor de c pela combinação entre a e b, segue:

$2d=a+b+(a+2b)\\ \\ 2d = 2a + 3b\\ \\ d = a + \frac32 b$


Agora substituímos os valores de d e c no nosso vetor 2x2:

 $\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\a+2b&a+\frac32 b\end{array}\right]$

Agora separamos essa matriz em duas, uma com as componentes a e a outra com b. 

$\left[\begin{array}{ccc}a&b\\a+2b&a+\frac32b\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}a&0\\a&a\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}0&b\\2b&\frac32 b\end{array}\right]$

Colocamos o a em 'evidência' na primeira matriz e o b na segunda:

$\left[\begin{array}{ccc}a&0\\a&a\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}0&b\\2b&\frac32 b\end{array}\right] = a\left[\begin{array}{ccc}1&0\\1&1\end{array}\right] + b\left[\begin{array}{ccc}0&1\\2&\frac32 \end{array}\right]$

Vemos que qualquer valor é, na verdade uma combinação linear das matrizes que a e b multiplicam. Portanto, a base é formada por duas matrizes:

$\left[\begin{array}{ccc}1&0\\1&1\end{array}\right] ~~~e~~~ \left[\begin{array}{ccc}0&1\\2&\frac32 \end{array}\right]$


Se tiver dúvidas, comente! Bons estudos =)