Question

(Álgebra Linear) Determine os possíveis valores para k para que o conjunto B não seja uma base do R3, sendo B = (1,0,k) , (1,3,k) , (2,1,k^2)

Answer 1

Resposta:

$k\in\{0,2\}$

Explicação passo-a-passo:

Basta que esse conjunto seja linearmente dependente para que ele não seja base de $\mathbb{R}^3$. Dessa forma, considerando o sistema de equações$a_1(1,0,k)+a_2(1,3,k)+a_3(2,1,k^2)=(0,0,0)$ deve ser um sistema possível indeterminado. Vamos desenvolvê-lo:

$(a_1,0,ka_1)+(a_2,3a_2,ka_2)+(2a_3,a_3,k^2a_3)=(0,0,0)$

$(a_1+a_2+2a_3,3a_2+a_3,ka_1+ka_2+k^2a_3)=(0,0,0)$

Tirando daí o seguinte sistema:

$\left\{\begin{matrix}a_1+a_2+2a_3=0\\3a_2+a_3=0\\ka_1+ka_2+k^2a_3=0\end{matrix}\right.$

Reescrevendo o sistema na forma matricial:

$\begin{bmatrix}1 &1 &2 \\ 0 &3 &1 \\ k &k &k^2 \end{bmatrix}\left.\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}\right|$

Basta agora escalonarmos essa matriz:

$\begin{bmatrix}1 &1 &2 \\ 0 &3 &1 \\ k &k &k^2 \end{bmatrix}\left.\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}\right|\xrightarrow[]{L_3-kL_1\rightarrow L_3}\begin{bmatrix}1 &1 &2 \\ 0 &3 &1 \\ 0 &0 &k^2-2k \end{bmatrix}\left.\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}\right|$

Como queremos que o sistema seja possível indeterminado, basta que uma das linhas seja nula. Dessa foram, temos que:

$k^2-2k=0$

$k(k-2)=0$

Concluindo assim que as soluções do problema são $k=0$ e $k-2=0\therefore k=2$.