Question

Álgebra Linear
Determine o subespaço de P2 gerado pelos seguintes vetores:
P1 = x² , P2 = - x²+x

Answer 1

Recordamos que num espaço vetorial V o subespaço W de V gerado pelos vetores w₁ e w₂ é o conjunto de todas as combinações lineares de w₁ e w₂. Ou seja, é o conjunto

$W = \langle w_1, w_2 \rangle = \{ \alpha_1 w_1 + \alpha_2 w_2 \in V| \, \alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb K\}$

Nesse problema, o espaço vetorial é P[2]  o conjunto dos polinômios  com grau menor ou igual a 2. Temos os vetores

p₁(x) = x²

p₂(x) = -x² + x

Assim, suas combinações lineares são da forma

α₁p₁(x) + α₂p₂(x) =  (α₁ - α₂)x² + α₂x

Ou seja, são polinômios da forma Ax² + Bx. Logo, o espaço gerado por p₁ e p₂ é:

$\langle p_1, p_2 \rangle = \{ Ax^2 + Bx \in P[2]| A,B \in \mathbb R\}$

Resposta:

São todos os polinômios da forma Ax² + Bx