Matemática, perguntado por lucas27484, 4 meses atrás

Álgebra Linear

Determine a transformação linear T cuja matriz $[T]_{BB'}$ é dada em cada caso a seguir.

a) T: R² → R³, B a base canônica, $B'={[(0, \ 3, \ 0), \ (-1, \ 0, \ 0), \ (0, \ 1, \ 1)$ e $[T]_{BB'} = \left[\begin{array}{ccc}0&2\\-1&0\\1&3\end{array}\right]$

Soluções para a tarefa

Respondido por Buckethead1

✅ A transformação linear associada a matriz dada é $\rm T(x{,}\,y) = (x{,} \, x + 9y{,}\,x+3y )$ .

☁️ Definição de transformação linear:

“Sejam $\rm V$ e $\rm W$ espaços vetoriais sobre um conjunto $\rm K$ de escalares. Dizemos que uma aplicação $\rm T: V \to W$ é uma transformação linear, se satisfizer as duas condições a seguir: ”

$\Large\underline{\boxed{\boxed{\begin{array}{lr} \rm i) \; \forall \; \vec{v}_1 \land \vec{v}_2 \in V \Rightarrow T(\vec{v}_1 + \vec{v}_2) = T(\vec{v}_1) + T(\vec{v}_2) \\\\ \rm ii) \; \forall \; k \in K \land \vec{v} \in V \Rightarrow T(k\vec{v}) = kT(\vec{v}) \end{array}}}}$

☁️ Matriz de uma transformação linear:

“Sendo $\rm V$ e $\rm W$ espaços vetoriais com dimensões finitas e seja $\rm T: V\to W$ uma transformação linear. Seja, ainda, $\rm \phi = \{(v_1{,}\, v_2{,}\ldots{,} \, v_n)\}$ e $\rm \beta = \{(w_1{,}\, w_2{,}\ldots{,}\, w_n)\}$ bases dos espaços $\rm U$ e $\rm V$ respectivamente, é fácil deduzir a seguinte equação, tendo em vista que preserva-se as operações usuais de adição e multiplicação por escalar ”

$\large\begin{array}{lr}\rm [T(v)]_{\beta} = \begin{bmatrix}\rm a_{11} & \rm a_{12} &\rm \ldots& \rm a_{1n}\\ \rm a_{21} & \rm a_{22} &\rm \ldots& \rm a_{2n} \\ \rm \vdots & \rm \vdots & \rm \vdots &\rm \vdots \\ \rm a_{m1} & \rm a_{m2} &\rm \ldots& \rm a_{mn} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \rm k_{1}\\ \rm k_2\\ \rm \vdots \\ \rm k_n\end{bmatrix} = [T(v)]_{\beta}^{\phi} \cdot [v]_{\phi}\end{array}$

❏ Na qual $\rm [T]_{\beta}^{\phi}$ representa a transformação linear em relação às bases $\rm \phi$ e $\rm \beta$ e é dita a matriz da transformação linear nas bases $\rm \phi$ e $\rm \beta$ .

✍️ Vamos aplicar esses conceitos e resolver a questão!

❏ Dada a matriz da transformação linear $\rm [T]^{B}_{B'}$

$\large\begin{array}{lr}\rm [T]^{B}_{B'} = \left[ \begin{array}{cc} \rm 0& \rm 2\\ \rm - 1& \rm 0\\ \rm 1& \rm3\end{array} \right]\end{array}$

❏ Partindo da definição, e sabendo que a transformação converte um vetor do plano em um vetor do espaço ( $\rm \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ ), podemos escrever a transformação linear dos vetores da base $\rm B$ como uma combinação linear dos vetores da base $\rm B'$ , cujos escalares são o conjunto imagem dos vetores da base $\rm B$ escritos na base $\rm B'$ . Esse conjunto imagem, por definição são as colunas da matriz da transformação linear. Sendo assim:

$\large\begin{array}{lr}\rm T(1{,}\, 0) = 0(0{,}\,3{,}\,0) -1(-1{,}\,0{,}\,0) + 1(0{,}\,1{,}\,1) = (1{,}\,1{,}\,1)\\\\\rm T(0{,}\, 1) = 2(0{,}\,3{,}\,0) +0(-1{,}\,0{,}\,0) + 3(0{,}\,1{,}\,1) = (0{,}\,9{,}\,3)\end{array}$

❏ Tomando um vetor arbitrário $\rm \vec{v} = (x {,}\, y ) \in \mathbb{R}^2$ , é viável escreve-lo como uma combinação linear dos vetores da base $\rm B$ , que por sinal é a base canônica, o que deixa trivial.

$\large\begin{array}{lr}\rm \vec{v} = ( x{,}\, y) = x (1{,}\,0) + y(0{,}\,1)\end{array}$

❏ Veja que agora podemos escrever isso como uma transformação linear do vetor $\rm \vec{v}$ , o que é viável, pois temos a transformação dos vetores da base ( Note que estou usando as condições dadas na Def. i )

$\large\begin{array}{lr}\rm T(\vec{v}) = T(x{,}\,y) = T\left(x(1{,}\,0) + y(0{,}\,1)\right) = T(x(1{,}\,0)) + T(y(0{,}\,1))\end{array}$

❏ Pela condição de que uma transformação linear deve preservar a multiplicação usual por um escalar ( Veja a def.ii de transf. linear )

$\large\begin{array}{lr}\rm T(\vec{v}) = T(x{,}\,y) = xT(1{,}\,0) + yT(0{,}\,1)\end{array}$

❏ Isso é bom, pois anteriormente disse que sabia a transformação dos vetores da base $\rm B$ . De fato, sei. Foi a primeira coisa que calculamos.

$\large\begin{array}{lr}\rm T(\vec{v}) = T(x{,}\,y) = x(1{,}\,1{,}\,1) + y(0{,}\,9{,}\,3)\\\\\rm T(\vec{v}) = T(x{,}\,y) = (x{,}\,x{,}\,x) + (0{,}\,9y{,}\,3y) \\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\:T(x{,}\,y) = (x{,}\,x+9y{,}\,x+3y)}}}}\end{array}$