Question

Álgebra linear: Determinar os subespaços do r3 gerados pelos seguintes conjuntos: A={(1,2,-1),(-1,1,0),(-3,0,1),(-2,-1,1)}

Answer 1

Determinar subespaços do R³ gerados por um conjunto


Primeiro escreve-se o espaço como C.L. dos vetores indicados no conjunto


     $\mathsf{(x,y,z)=a\cdot (1,2,-1)+b\cdot (-1,1,0)+c\cdot (-3,0,1)+d\cdot (-2,-1,1)}$


Realizando as operações de multiplicação por um escalar e depois soma de vetores


     $\mathsf{(x,y,z)=(a,2a,-a)+(-b,b,0)+(-3c,0,c)+(-2d,-d,d)}$

     $\mathsf{(x,y,z)=(a-b-3c-2d,2a+b-d,-a+c+d)}$


Com os valores de cada coordenada monta-se um sistema


     $\left\{\!\begin{array}{lc}\mathsf{a-b-3c-2d=x}&\quad\mathsf{(i)}\\\\ \mathsf{2a+b\qquad-d=y}&\quad\mathsf{(ii)}\\\\ \mathsf{-a\qquad +c+d=z}&\quad\mathsf{(iii)}\end{array}\right.$


Somando (i) e (ii) e fazendo um sistema com o resultado e (iii), vem


     $\left\{\!\begin{array}{lc}\mathsf{3a\qquad-3c-3d=x+y}&\quad\mathsf{(i)+(ii)}\\\\ \mathsf{-a\qquad +c\quad+d=z}&\quad\mathsf{(iii)}\end{array}\right.$


Multiplicado (iii) por 3, fica


     $\left\{\!\begin{array}{lc}\mathsf{3a-3c-3d=x+y}&\quad\mathsf{(i)+(ii)}\\\\ \mathsf{-3a +3c+3d=3z}\end{array}\right.$


Somando as duas linhas


     x + y + 3z = 0 <--- Os subespaços do R³ gerados por A estão nesse plano


Bons estudos! :)