Álgebra Linear
Calcule bases do núcleo e da imagem da
seguinte transformação linear.
T : R 3 → R 3 , T(x, y, z) = (x + 2y − z, 2x + 4y − 2z,−x − 2y - z);
Preciso de ajuda com a resolução, estou cometendo algum erro
Soluções para a tarefa
Resposta:
Imagem: { (1,2,-1), (-1,-2,-1)}
Núcleo: {(2,-1,0)}
Explicação passo-a-passo:
Imagem:
T(x,y,z) = (x+2y-z,2x+4y-2z,-x-2y-z)
T(x,y,z) = x(1,2,-1) + y(2,4,-2) + z(-1,-2,-1)
Ou seja, a imagem é o conjunto de todas as combinações lineares de (1,2,-1), (2,4,-2) e (-1,-2,-1). Esses três vetores são LD, pois o primeiro é múltiplo do segundo. Isso quer dizer que o espaço gerado por
{ (1,2,-1), (2,4,-2), (-1,-2,-1)}
é o mesmo gerado por
{ (1,2,-1), (-1,-2,-1)}
Já esses dois últimos são LI. Daí formam uma base para a imagem.
Núcleo:
T(x,y,z) = (0,0,0)
x+2y-z = 0
2x+4y-2z = 0
-x-2y-z = 0
Somando a primeira com a terceira obtemos z = 0. Substituinido esse valor obtemos x = -2y. Então as soluções são da forma
(x,y,z) = (2t, -t, 0) = t ( 2,-1,0)
Portanto o núcleo é gerado por (2,-1,0)
Obs.: Observe que para a imagem nesse exercicio e no outro eu "adivinhei" que os vetores eram LI ou LD. Geralmente nao da pra fazer isso "de cabeça". O procedimento normal é montar uma matrizes com os vetores nas linhas (ou colunas) e escalonar por linhas (ou por colunas). Inclusive lembre que a base de um subspaço vetorial não é única. Assim as vezes da pra "simplificar". Por exemplo, o espaço gerado por { (1,2,-1), (-1,-2,-1)} é o mesmo gerado por { (1,2,0), (0,0,1)}. Ou seja, essa poderia ser uma resposta também. Para o núcleo vale a mesma coisa. E o normal para resolver o sistema é por escalonamento também.