Question

Álgebra Linear
Calcule bases do núcleo e da imagem da
seguinte transformação linear.
T : R 3 → R 2 , T(x, y, z) = (2x+y-3z, -6x-3y+9z);

Answer 1

Resposta:

Imagem: {(1,-3)}

Núcleo: {(1,-2,0), (0,3,1)}

Explicação passo-a-passo:

Vamos começar da imagem que é mais fácil

Imagem são todos os valores possíveis assumidos por T. Ou seja, é o conjunto

Im = {  (2x+y-3z, -6x-3y+9z) ∈ R²; x,y,z ∈ R}

Observe que podemos escrever melhor esse conjunto, pois

(2x+y-3z, -6x-3y+9z)  = x(2,-6) + y(1,-3) + z(-3,9)

Ou seja,  a imagem é o conjunto de todas as combinações lineares de (2,-6), (1,-3) e (-3,9). Esses 3 vetores são  LD. De fato, eles são multiplos um do outro:

(2,-6) = 2(1,-3)

(-3,9) = -3(1,3)

Assim temos

x(2,-6) + y(1,-3) + z(-3,9) = (2x+y-3z) (1,-3)

Ou seja, a imagem é formada pelos multiplos de (1,-3):

Im = { (a, -3a) ∈ R²; a ∈ R}

Uma base de Im é {(1,-3)}

Agora vamos ao Núcleo. O núcleo é o conjunto de todos os (x,y,z) tais que

T(x,y,z) = (0,0). Assim basta resolver o sistema

2x+y-3z =  0

-6x-3y+9z = 0

Note que a equação de baixo é igual a de cima multiplicada por 3. Assim o sistema é o mesmo que

2x+y-3z = 0

Cuja solução geral é

x = a

y = 3b-2a

z = b

Ou seja,

Núcleo = ker = {(a,3b-2a,b) ∈ R³; a,b ∈ R}

Note que pdemos escrever

(a,3b-2a,b) = a(1,-2,0) + b (0,3,1)

Ou seja, o núcleo é o conjunto das combinações lineares de (1,-2,0)  e (0,3,1). Como esses vetores são LI, uma base para o núcleo é  {(1,-2,0), (0,3,1)}