Question

Álgebra Linear
Calcule bases do núcleo e da imagem da
seguinte transformação linear.
T : R 3 → R 3 , T(x, y, z) = (x + 2y − z, 2x + 4y − 2z,−x − 2y - z);

Answer 1

Resposta:

Base do KerT = {(1,0,1),(0,1,2)}

Base da ImT = {(1,2,-1)}

Explicação passo-a-passo:

Pela transformação definida, é fácil verificar que a matriz da transformação é dada por (verifique):

$\left[\begin{array}{ccc}1&2&-1\\2&4&-2\\-1&-2&-1\end{array}\right]$

Perceba que o determinante da matriz é nulo. Logo, os vetores presentes nas colunas são linearmente dependentes. Assim, para achar uma base de ImT será necessário escalonar a matriz. Faça, você chegará a que uma das bases é dada pelo conjunto {(1,2,-1)}.

Para achar uma base de KerT, basta resolver o sistema linear A*x = 0. Resolvendo o mesmo você chega a resposta que indiquei.